《微积分》83 偏导数与全微分.ppt

一、 偏导数的概念及计算 二、 全微分 * * §8.3 偏导数与全微分 这种变化率称之为偏导数. 在研究一元函数时, 已经看到了函数关于自变量的 变化率(导数)的重要性. 对于二元函数也同样有一个处于 重要地位的函数变化率问题. 因二元函数有两个自变量, 且这两个自变量是彼此无关的, 故可考虑函数关于其中 的一个自变量的变化率, 此时将另一个自变量看作不变. 设函数z=?(x,y)在点 的某个邻域内有定义,则 称为函数z=?(x,y)在 处对y的偏增量,亦可记为 1.偏导数的概念 称x在 处取得改变量?x且 改变量 保持不变时, 函数z的 处对x的偏增量,亦可记为 同样可将 称为函数z=?(x,y)在 在上述意义下, 把x、y在 ?x、?y时, 函数z的改变量 处同时取得改变量 处的全增量, 亦可记为??. 设函数z=?(x,y)在点 的某个邻域内有定义, x的偏导数,并记为 称为函数z=?(x,y)在 定义7 若极限 存在，则称此极限值为 函数z=?(x,y)在点 处对 y的偏导数,并记为 如果函数z=?(x,y)平区域D内每点(x,y)处对x(或y) 的偏 导数存在, 则称函数?(x,y)在D内有对x(或y)的偏导函数, 简称偏导数, 记作 同理若极限 存在，则称此极限值为 函数z=?(x,y)在点 处对 注: 二元函数偏导数定义可以推广到更多元. 例如: u=f(x,y,z) 2.几何意义 3. 偏导数的计算 (1).要求函数?(x,y)对自变量x的偏导数, 只须将自变量 由偏导数的定义知： 用一元函数的求导法则对x求导； (2).要求函数?(x,y)对自变量y的偏导数, 只须将自变量 y看成常数， x看成常数, 用一元函数的求导法则对y求导. 例11 求函数 在点(1,0)处的偏导数. 例12 求下列函数的偏导数: 两边对x求偏导 两边对y求偏导 两边对z求偏导 4.多元函数的偏导数与连续性之间的关系 中,“若函数?(x,y) 在某点的两个偏导数 多元函数的偏导数与连续性之间的关系，与一元函 数的可导与连续的关系，有着本质的区别. 一元函数有“可导必连续”的性质； 但在二元函数 其值随k而变,则 但此函数对变量x(而变量y的值固定) 或y(而变量x的值固 定)却是连续的.实际上 故函数?(x,y)对变量x是连续的. 同理可证函数?(x,y)对变量y是连的. 而且当(x,y)不是原点时，函数?(x,y) 却是连续的. 5、偏导数的经济意义： （1）边际需求 （2）偏弹性 需求价格偏弹性 生产函数的偏弹性2005s3 函数改变量的变化情况. x?y y y?x ?x?y 则其面积为S=xy ?S=(x+?x)(y+?y)?xy =y??x+x??y+?x??y 1.全微分的概念 本节研究二元函数在两个自变量都有微小变化时， 如图所示的矩形： 2：?x??y 较高阶的无穷小量 (当?x→0, ?y→0时)是比 特点： 1： y??x+x??y是二元线性函数； x 定义8 若函数z=?(x,y)在点(x,y)处的全增量 ?z=?(x+?x,y+?y)??(x,y) 可表示为 ?z=A?x+B?y+o(ρ) 其中A 、 B与?x 、 ?y无关,o(ρ)是比 较高阶的无穷小量，则称?z的线性主部A?x+B?y是 函数z=?(x,y)在点(x,y)处的全微分，记作dz,即 dz=A?x+B?y 此时又称函数z=?(x,y)在(x,y)处可微. y??x+x??y近似表示?S，类似于一元函数的微分， 也称它为S的全微分. 若z=?(x,y)在区域D上每一点都可微,则此时又称?在区域 D上可微. 故可将它略去, 而用?x 、 ?y的线性部分 定理2 若函数z=?(x,y)在点(x,y)处可微，则函数z=?(x,y)在 ?z=A?x+B?y+o(ρ) →0. 则函数z=?(x,y)在(x,y)处连续. (x,y)处必连续. 证 因z=?(x,y)在点(x,y)处可微，则当 时,也有 从而可得 2.可微、偏导数及连续的关系 定理3 若函数z=?(x,y)在点(x,y)处可微，则函数z=?(x,y) 则对点(x,y)的某个邻域内的任意一点(x+ ?x,y+?y),均有 特别地，当?y=0时即为 在(x,y)处的偏导数必存在，且其全微分为 证 因z=?(x,y)在点(x,y)处可微， ?z=A?x+B?y+o(ρ) ?(x+?x,y)??(x,y)=A?x+o(∣?x∣) 也不一定是?(x,y)的全微分. 是ρ的高 重要结论：函数z=?(x,y)的各偏导数存在,仅是全微分 注3 对于二元函数z=?(x,y),若它的偏导数