初高中数学衔接二次函数.docx

第三讲 一元二次方程与二次函数 知识清单 一、二次方程 1）一般形式是： ax2+bx+c=0(a≠0） 2）二次方根（实数根）的求法 根的个数 两个 一个 无 判别式 △ 方法 常用：① 求根公式 ③ 配方法（常 ② 十字因式分解法 用） 3）公式记忆 ① △= ② 求根公式 ③ 根与系数（韦达定理） 2、二次函数的概念、图象和性质 y ax2 bx c a0） 二次函数图像注意 ① （0， c） ② 对称轴： ③顶点（ ） 判别式 ax 2 bx c 0 二次不等式口诀： 二次函数的形式： ① 一般式： ② 顶点式： ③ 两根式： 问题一 ：二次方程根的求法 例 1：用适当的方法解方程： （1）2（x+2）2-8=0 （2）x(x-3)=x （3） 3 x2=6x- 3 （4）(x+3)2+3(x+3）-4=0 点评：写出每个分解的方法 变式 1：判定下列关于 x 的方程的根的情况（其中 a 为常数），如果 方程有实数根，写出方程的实数根。 （1）x2-3x+3=0； （2）x2-ax+(a-1)=0; 点评：当二次方程系数含参数求根时，需注意什么： ________ 问题二：韦达定理的应用 2：已知方程 5x2+kx-6=0 的一个根是 2，求它的另一个根及 k 的值。 点评：要用两种以上的方法求解： 变式 1：已知关于 x 的方程 x2 +2(m-2)x+m 2+4=0 有两个实数根，并 且这两个实数根的平方和比两个根的积大于 21，求 m 的值。 变式 2：.若 x1,x2 是方程 x2+2x-2007=0 的两个根，试求下列各式的值： （1） x12 ＋ x22 ； （2）1＋1； x1 x2 （3）(x1-5)(x 2 -5) ； （4） x1 x2 . 问题三：二次函数解析式的求法 3：已知某二次函数的最大值为 2，图象的顶点在直线 y=x+1 上，并且图象经过点 (3,-1 ），求二次函数的解析式。 变式 1、已知二次函数的图象过点（ -3,0 ），（1.0 ），且顶点到 x 轴的距离等于 2，求此二次函数的表达式。 变式 2、已知二次函数的图像过点 ( 1, 22), (0, 8), (2,8) ，求此函数的表达式 变式 3、把二次函数 y=x2+bx+c 的图象向上平移 2 个单位长度，再向左平移 4 个单位长度，得到函数 y=x2 的图象，求 b,c 的值。 点评：当选择二次函数解析式的形式时，应该注意的条件式什么。 请总结： 问题 4、二次函数最值的应用 例 4：当 x≥0 时，求函数 y=-x(2-x ）的取值范围。 变式 1：当 1≤x≤2 时，求函数 y=-x 2-x+1 的最大值和最小值。 变式 2（拓展）：当 t≤x≤t+1 时，求函数 y= 1 x 2 x 5 的最小值（其 2 2 中 t 为常数）。 问题 5、二次不等式的求解 例 5：已知二次函数 y=x2-x-6 ，当取 x 何值时，y=0？当取 x 何值时， y＜0？ 点评：怎样解关于 x 的一元二次不等式 ax2+bx+c＞0（a≠0）呢？ 变式 1：解下列不等式： （1）x2-2x-8 ＜0； （2）x2-4x+4 ≤0； （3）x2 -x+2 ＜0. 变式 2：已知对于任意实数 x，kx2-2x+k 恒为正数，求实数 k 的取值范围。 变式 3（拓展）：解关于 x 的不等式 x2-x-a(a-1) ＞0 问题 6、二次函数的实际应用 6：某商场以每件 30 元的价格购进一种商品，试销中发现这种商 品每天的销售量 m （件）与每件的销售价x( 元）满足一次函数 m=162-3x ，30≤x≤54. （1）写出商场卖出这种商品每天的销售利润 y 与每件销售价 x 之间 的函数关系式； 2）若商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定位多少最合适？最大销售利润为多少 ? 巩固扩展 1.选择题：（1）方程 x2-2 3 kx+3k2=0 的根的情况是（ ） A.有一个实数根 B.有两个不相等的实数根 C.有两个相等的实数根 D.没有实数根 （2）若关于 x 的方程 mx2+(2m+1)x+m=0有两个不相等的实数根，则 实数 m 的取值范围是（ ） A.m＜ 1 B、m＞- 1 4 4 C、m＜ 1 ，且 m 0 D、m＞ 1 ，且 m 0 4 4 2.填空：（1）若 a 为方程 x2+x-5=0 的解，则 a2+a+1的值为 _____。 2）方程 mx2+x-2m=0(m 0)的根的情况是 _____。 3.试判定当 m 取何值时，关于 x 的一元二次方程 m2x2-（2m+1）x+1=0 有两个不相等的实数根？有两个相等的实数根？没有实数根？ 4.用适当的方法解下列一元二次方程； (1)x2-5x+1=