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机器人运动学 关节空间：有n个自由度的工业机器人所有连杆的位置和姿态，可以用一组关节变量(di或?i)来描述。这组变量通常称为关节矢量或关节坐标，由这些矢量描述的空间称为关节空间。 正向运动学：关节空间?末端笛卡儿空间，单射 逆向运动学：末端笛卡儿空间?关节空间，复射 3.1.2 位姿描述与齐次变换 3.1.2.1????刚体位置姿态（位姿）描述 3.1.2.2????坐标变换 3.1.2.3 齐次坐标与齐次变换 复合变换式 可以表示成等价的齐次变换式。 齐次坐标变换 刚体位置描述：利用齐次坐标变换可以描述刚体的位置和姿态。刚体上其它点在参考坐标系中的位置可以由变换矩阵乘以该点在刚体坐标系中的位置获得。 例题5：下图中的物体可以由{(1,0,0), (-1,0,0), (-1,0,2), (1,0,2), (1,4,0), (-1,4,0)}表示。如果该物体在基坐标系中先绕z轴旋转90°，再绕y轴旋转90°，再沿x轴平移4，求物体6个顶点的位置。 3.1.2.4??? 齐次变换的性质 3.1.2.5??? 旋转变换通式 二. 等效转轴与等效转角 3.1.3.2????运动学正解 3.1.3.5 运动学反解的有关问题 一、解的存在性和工作空间 问题：对于给定的（x，y），相应的 （θ1，θ2）是否存在？ 如果（x，y）位于 两杆长度差和两 杆长度和为半径的圆环上，则反解存 在，否则不存在。 通常把反解存在的区域称为该机器人 的工作空间。 二、反解的唯一性和最优解 前述2自由度平面机械手在其灵活空间中，运动方程可能有两 组解。即：反解并非唯一 机器人操作臂运动学反解的数目取决于关节数目、连杆参数和 关节变量的活动动范围。例如PUMA560最多有8组解到达某 些目标，实际上由于关节活动范围的限制，这8组解中可能有 某些解不能达到。 一般而言，非零连杆参数愈多，到达某一目标的方式也愈多， 即运动学反解的数目越多。 如何从多重解中选择其中的一组？最优解——由具体情况而定 在避免碰撞的前提下，通常按“最短行程”的准则来择优，即每 个关节的移动量最小。机器人前三个杆的尺寸较大，后面三个 较小，遵循“多移动小关节，少移动大关节”的原则。 三、求解方法 运动学反解的方法可分为两类：封闭解法和数值解法 在进行反解时，力求得到封闭解。封闭解法计算速度快，效率 高，便于实时控制。数值解法不具备这些特点，非线性方程组 的数值解法本身就是一个有待研究的问题。 封闭解可通过两种途径获得：代数解和几何解 例如利用反变换法得到了PUMA560的封闭解，属于代数解。 几何法是利用几何关系求解 3.2 ?移动机器人运动学 零位校验： 零位校验： 零位校验： 零位校验： 零位校验： 零位校验： = 零位校验： 令 得 例2： Stanford机器人 运动学 （１）θi是从Xi-1到Xi绕Zi-1旋转的角度； （２）di是从Xi-1到Xi沿Zi-1测量的距离； （３）ai是从Zi-1到Zi沿Xi测量的距离；（４）αi是从Zi-1到Zi绕Xi旋转的角度。 （1）连杆参数 （2）A矩阵 这里略去了零位校验 本文讲述的方法 书上讲述的方法 3.1.3.3??另一种连杆坐标系的建立 结论： 3 .选择不同的连杆坐标系，相应的连杆参数将会发生变化。 １.一般来说，机器人的坐标系可以任意建立； ２.如果不是按照D-H方法建立连杆坐标系，则不能按照A矩阵表达式来求解相邻连杆坐标系之间的变换； 3.1.3.4????运动学反解 反解就是已知手爪位姿，即 已知（ ），求关节变量θ1，θ2 和θ3。 正解 反解 　　反变换法（也称代数法）求解，它是一种把关节变量分离出来从而求解的方法。 上式两端的元素（3，4）对应相等，得： ?-s1px+c1py=d2 首先求θ1 ，将　　　　　　等式两端左乘 ，得 再利用三角代换: 和　　　　　，其中 把它们代入代换前的式子得： 再求θ3。再令矩阵方程两端的元素（1，4）和（2，4）分别对应相等得： 两边平方相加得： 合并同类项并整理得： 令 ，再利用三角代换可得： 式中正，负号对应着θ3 的两种可能解。 最后求θ2：? 将　　　　　　　　　　　展开并整理得： 同样再利用三角代换容易求得θ2的四种可能解： 其中 结论：