高等代数选讲第六讲线性变换的特征值、特征向量.ppt

* 第三节 线性变换的特征值、特征向量 * 从本节开始，我们主要讨论，如何选择一组适当的 基，使V的某个线性变换在这组基下的矩阵就是一个 对角矩阵? 引入 有限维线性空间V中取定一组基后，V的任一线性 希望这个矩阵越简单越好，如对角矩阵. 变换都可以用矩阵来表示. 为了研究线性变换性质， * 设　是数域P上线性空间V的一个线性变换， 则称　为 的一个特征值（eigenvalue），称　为　的 一、特征值与特征向量 定义 若对于P中的一个数　　存在一个V的非零向量 使得 的特征向量（eigenvector）. 属于特征值 * 下的矩阵分别为A、B，且从基(Ⅰ) 到基(Ⅱ)的过渡 矩阵矩阵是X，则 (Ⅱ) (Ⅰ) 定理 设线性空间V的线性变换 　 在两组基　　　　　 相似矩阵有相同的特征值。 * （1） 在V中任取一组基 写出 在这组基下 就是　的全部特征值. （2） 求A的特征多项式 在P上的全部根它们 1、求特征值与特征向量的一般步骤 的矩阵A . * （3）把所求得的特征值逐个代入方程组 的全部线性无关的特征向量在基　　　　 并求出它的一组基础解系.(它们就是属于这个特征值 如果特征值　 对应方程组的基础解系为： 则 下的坐标.) * 就是属于这个特征值　 的全部线性无关的特征向量. 而 （其中，　　　　　　　不全为零） 就是　的属于　 的全部特征向量. * 解：A的特征多项式 例1 设线性变换　 在基　 下的矩阵是 求　特征值与特征向量. 故　的特征值为：　　　（二重） * 把 代入齐次方程组 　　　　　　　得 即 它的一个基础解系为： 因此，属于 的两个线性无关的特征向量为 而属于 的全部特征向量为 不全为零 * 因此，属于5的一个线性无关的特征向量为 把 代入齐次方程组 　　　　　　　得 解得它的一个基础解系为： 而属于5的全部特征向量为 * 二、特征多项式的有关性质 1、设　　　　　　　 则A的特征多项式 由多项式根与系数的关系还可得 （2） A的全体特征值的积＝ （1） A的全体特征值的和＝ * 2、相似矩阵具有相同的特征多项式. 证: 设 　 于是， 则存在可逆矩阵X，使得 * 有相同特征多项式的矩阵未必相似. 它们的特征多项式都是　　　，但A、B不相似. 如 注意 设 为A的特征多项式, 则 3、哈密尔顿─凯莱（Hamilton─Caylay）定理 * 4、设　为有限维线性空间V的线性变换，　　是　 的特征多项式，则 * 练习1 已知　　　　　　为A的一个特征值，则　 1.　　　　　 必有一个特征值为　　　　　; 2.　　 　　　 必有一个特征值为　　　　　; 3. A可逆时， 　 必有一个特征值为　　　　　; 4. A可逆时， 　必有一个特征值为　　　　　. 5. 　 　 则　　 必有一个特征值为　　　. * 行列式　 ＝　　　. 练习2 已知3阶方阵A的特征值为：1、－1、2，　 则矩阵　　　　　　的特征值为：　　　　　　， * 定义1 设 维 线性空间V的一个线性变换，如 果存在V的一个基，使 在这组基下的矩阵为对角矩 阵，则称线性变换　可对角化（diagonalization）. 矩阵，则称矩阵A可对角化. 定义2 矩阵A是数域 上的一个 级方阵. 如果 存在一个 上的 级可逆矩阵 ，使 为对角 三、可对角化的概念 * 下的矩阵分别为A、B，且从基(Ⅰ) 到基(Ⅱ)的过渡 矩阵矩阵是X，则 (Ⅱ) (Ⅰ) 定理 设线性空间V的线性变换 　 在两组基　　　　　 * 1、（定理 ）设 为 维线性空间V的一个线性变换， 则 可对角化　 有 个线性无关的特征向量. 2、（定理 ）设 为n维线性空间V的一个线性变换, 如果 分别是 的属于互不相同的特征值 的特征向量，则 线性无关. * 例1 设 求非奇异矩阵　，使得 为对角阵。 * 特别地，（推论2）在复数域C上的线性空间中， 3、（推论1）设　为n 维线性空间V的一个线性变换， 则 可对角化. 如果线性变换 的特征多项式没有重根，则 可 如果 的特征多项式在数域 P 中有n个不同特征值， 对角化. * 特征值 的线性无关的特征向量， 则向量