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智浪教育—普惠英才文库 函数和解析几何练习 1. 已知 f ?θ? = a sin θ + b cos θ，θ ? [ 0, ? ]，且1与2 cos 2 EQ \F(θ,2) 的等差中项大于1与 sin 2 EQ \F(θ,2) 的等比中项的平方．求：?1? 当a = 4, b = 3时，f ?θ? 的最大值及相应的 θ 值；?2? 当a b 0时，f ?θ? 的值域． 解：易得 EQ \F(1 + 2cos2 EQ \F(? ,2) ,2) sin2 EQ \F(? ,2) ， ∴ 1 + 2cos2 EQ \F(? ,2) 2 sin2 EQ \F(? ,2) ，即2(cos2 EQ \F(? ,2) －sin2 EQ \F(? ,2) ) －1， ∴ 2cos? －1，即cos? － EQ \F(1,2) . ∵ ? ? [0,? ]，∴ ? ? [0, EQ \F(2?,3) ) . 2分 (1)当a = 4,b = 3时，有f(? ) = 4sin? + 3cos? = 5sin(? + ? ) (其中? = arctan EQ \F(3,4) ). ∵ 0≤? EQ \F(2?,3) ，∴ ? ≤? + ? EQ \F(2?,3) + ? ，而0? = arctan EQ \F(3,4) EQ \F(?,4) . ∴ 当? + ? = EQ \F(?,2) 即? = EQ \F(?,2) －arctan EQ \F(3,4) 时,f(? )max = 5. 5分 (2)由（1）知，当ab0时，设 EQ \B\LC\{(\A\AL( x = bcos? , y = asin?)) ， 则有 EQ \F(x2,b2) + EQ \F(y2,a2 ) = 1。 ∵ 0≤? EQ \F(2?,3) , ∴ 0≤y≤a , － EQ \F(b,2) x≤b，其方程表示一段椭圆弧，端点为M(b,0)， N(－ EQ \F(b,2) , EQ \F( EQ \R(3) a,2) )，但不含N点。 7分 设f(? ) = x + y = t，则y = －x + t为一直线。 将y = －x + t代入 EQ \F(x2,b2) + EQ \F(y2,a2 ) = 1可得(a2 + b2)x2－2b2tx + b2(t2－a2) = 0。 当直线与椭圆相切时，有△ = 4b4t2－4b2(a2 + b2)(t2－a2) = 4b2[b2t2－(a2 + b2) (t2－a2)] = 0。 求得t = ± EQ \R(a2 + b2 ) ，∴ f(? )max = EQ \R(a2 + b2 ) 。 9分 当直线过点M(b,0)时，有f(? ) = b；当直线过点M(－ EQ \F(b,2) , EQ \F( EQ \R(3) a,2) )时，有f(? ) = EQ \F( EQ \R(3) a－b,2) 。 当a EQ \R(3) b时，f(? )min = EQ \F( EQ \R(3) a－b,2) ；当a≥ EQ \R(3) b时，f(? )min =b。 11分 故当0ba EQ \R(3) b时，f(? ) ? ( EQ \F( EQ \R(3) a－b,2) , EQ \R(a2 + b2 ) ]；当a≥ EQ \R(3) b0时，f(? ) ? [b, EQ \R(a2 + b2 ) ]。 2.已知椭圆C的方程为x 2 + EQ \F(y 2,2) = 1，点P?a, b?的坐标满足a 2 + EQ \F(b 2,2) ≤ 1，过点P的直线l与椭圆交于A、B两点，点Q为线段AB的中点，求：?1? 点Q的轨迹方程；?2? 点Q的轨迹与坐标轴交点个数。 解：设A(x1,y1)、B(x2,y2)、Q(x,y)， (1) = 1 \* GB3 ①当x1 ≠ x2时，不妨设直线l的斜率为k，其方程为y = k(x－a) + b， 由 EQ \B\LC\{(\A\AL( x 12 + EQ \F(y1 2,2) = 1, x 22 + EQ \F(y2 2,2) = 1)) 可得(x1－x2)(x1 +x2) + EQ \F(1,2) (y1 －y2 )(y1 + y2) = 0， ∴ EQ \F(x1 + x2,2) + EQ \F(1,2) · EQ \F(y1 + y2