反渐开线函数的综合解算法.doc

反渐开线函数的综合解算法沈守范(南京理工大学 ,江苏 南京 210094)摘 要 反渐开线函数的综合解算法 沈守范 (南京理工大学 ,江苏 南京 210094) 摘 要 :本文综合运用台劳级数 、普通迭代和牛顿法 ,给出了符合精度要 求的解算反渐开线函 数的简单公式 (包括原始初值公式和近似值精化公式) ,它们适用于 0 , π/ 2 的全区段 ,免除了 分段计算的烦恼 。 关键词 :渐开线函数 ;迭代法 ;参数优化 中图分类号 : T H1321413 文献标识码 :B 文章编号 :167125276 (2003) 02The Synthetic Resolve Algorithm of Inverse Invol ute Function SH EN Sho u2f an ( Nanjing U niversit y of Science and Technology ,J S Nanjing 210014 ,C hina) Abstract :In t his paper ,t he simplicit y fo r mulae (include o riginal initial value fo r mulae and advanced app ro xima2 tio n fo r mulae) will be p ut fo rward based o n synt heses utilizing Taylo r p rogressio n , co mmo nness iteratio n and Newto ni an met ho d. U sing t hese fo r mulae ,perso ns can solve t he inverse involute f unctio n i n w hole interval (0 , π/ 2) and o btain expect p recisio n wit ho ut t he t ro uble of subse ctio n calculatio n . Key words :involute f unctio n ;iteratio n ;parameter op timixatio n 在参考文献 1 中 ,作者阐明了解算反渐开线函 数的 重 要 性 和 精 度 要 求 ( 误 差 不 超 过 1174 × 10 - 7) ,并 拟 定 出 解 算 的 具 体 方 法 和 一 系 列 公 式 。 但是 ,这些公式只分别适 用于 ( 0 ,π/ 2) 中的某个限 定区段 (否则误差过大) ,这是不方便的 。本文旨在 给出全区段适 用的简单公式 ,且满足精度要求 。 11112 普通迭代法 普通迭代法简称迭代法 ,其计算格式为 : = arctan (αi + Φ) , i = 0 , 1 , 2 , ? ( 3) αi +1 求算反渐开线函数的本意在于 : 根据已知的 Φ 值 , 取定原始初值 α0 ( 即 i = 0 时的初值) , 再按计 算格式反复运算 计算误差为 : n 步后求得符合精度要求的解αn 。 1 111 求解反渐开线函数的基本原理 迭代原理 求算反渐开线函数的实质是求解下述非线 性 ( 4) Δn = αn - α 要求 | Δn | ≤1174 ×10 - 7 。可惜 ,上述两种“点迭 代”计算格式 [ 式 (2) 和 (3) , 只会计算 | αi +1 - αi | 而不会计算 | αi +1 - α| (这是点迭代法 的通病2 , 若用“区间迭代”法就可以解决了) 。为了判断精度 和对比分析 ,本文 假定已知真值 α 并按式 ( 6)“精 确”计算出 Φ (一般计算器可达到 12 位有效数字) , 再计算格式 (2) 或 ( 3) 迭代 , 最后才有可能按式 ( 4) 估计精度 。故本文以 α为基准进行阐 述 。 N R K 法和迭代法各有优缺点 :前者对较小的 α 收敛得很快 ,而对大角度 α则收敛得 很慢 ,公式稍 繁 ; 后 者 恰 好 相 反 , 即 α 较 小 时 收 敛 得 慢 , α 较 大时收敛得快 ,公式简单 。由此可见 ,应综合运用 方程 : tanα - α = Φ 常用的解算方法有 : 11111 牛顿2雷扶生2康托洛维奇法 ( 1) 牛顿2雷扶生2康托洛维奇法 ( Newto n2Rap hso n2 Конτорович) 简称 N R K 法 ,其计 算格式为 : tanαi - αi - Φ , i = 0 , 1 , 2 , ? ( 2) αi +1 = αi - tan2α i 式中 :