固体物理第四章能带理论4.2一维周期场中电子运动的近自由电子近似.ppt

当电子的 和 两种情形时 —— 微扰计算中，只考虑以上两种状态之间的相互作用 在 存在一个的态 ，和 状态能量相近 存在一个的态 ，和 状态能量相同 由于周期性势场的微扰，能量本征值在 处断开 能量的突变 能量本征值在 断开 两个态的能量间隔 —— 禁带宽度 电子波矢取值 —— 对于一个l，有一个量子态k 能量本征值 —— 当N很大时，Ek视为准连续 —— 由于晶格周期性势场的影响，晶体中电子准连续的能级分裂为一系列的能带 能量本征值在 处断开 ? 结果分析讨论 1) 能带底部，能量向上弯曲；能带顶部，能量向下弯曲 2) 禁带出现在波矢空间倒格矢的中点处 3) 禁带的宽度 —— 取决于金属中势场的形式 04_02_一维周期场中电子运动的近自由电子近似 —— 能带理论 §4.2 一维周期场中电子运动的近自由电子近似 1. 模型和微扰计算 近自由电子近似模型 —— 金属中电子受到原子 实周期性势场的作用 —— 假定势场的起伏较小 零级近似 —— 用势场平均值代替原子实产生的势场 周期性势场的起伏量作为微扰来处理 1）零级近似下电子的能量和波函数 —— 空格子中电子的能量和波函数 一维N个原子组成的金属，金属的线度 零级近似下 薛定谔方程 波函数和能量本征值 波函数满足 正交归一化 —— l 为整数 2）微扰下电子的能量本征值 哈密顿量 满足周期边界条件 根据微扰理论，电子的能量本征值 一级能量修正 二级能量修正 —— 按原胞划分写成 —— 引入积分变量? —— 利用势场函数的周期性 i) ii) 将 和 代入 —— 周期场V(x)的第n个傅里叶系数 二级能量修正式 计入微扰后电子的能量 3）微扰下电子的波函数 电子的波函数 波函数的一级修正 计入微扰电子的波函数 令 可以证明 电子波函数 —— 具有布洛赫函数形式 ? 电子波函数的意义 i) 电子波函数和散射波 — 波矢为k的前进的平面波 — 平面波受到周期性势场作用产生的散射波 散射波的波矢 相关散射波成份的振幅 相邻原子的散射波有相同的位相 散射波 电子入射波波长 —— 布拉格反射条件在正入射时的结果 波函数一级修正项 散射波成份的振幅 —— 微扰法不再适用了 入射波波矢 ii) 电子波函数和不同态之间的相互作用 掺入与它有微扰矩阵元的其它零级波函数 在原来的零级波函数 中 —— 它们的能量差越小 掺入的部分就越大 当 时 —— 两个状态具有相同的能量 —— 导致了波函数的发散 ? 电子能量的意义 二级能量修正 当 —— 电子的能量是发散的 —— k和k’两个状态具有相同的能量，k和k’态是简并的 4）电子波矢在 附近的能量和波函数 —— 简并微扰问题中，波函数由简并波函数线性组合构成 状态 —— ?是一个小量 周期性势场中，对其有主要影响的状态 —— 只考虑影响最大的状态，忽略其它状态的影响 状态 对状态 的影响 简并波函数 薛定谔方程 考虑到 得到 分别以 或 从左边乘方程，对 x 积分 利用 线性代数方程 a, b有非零解 能量本征值 i) 波矢k离 较远，k状态的能量和状态k’差别较大 将 按 泰勒级数展开 —— k和k’能级相互作用的结果是原来能级较高的k’提高 原来能级较低的k下压 —— 量子力学中微扰作用下，两个相互影响的能级，总是 原来较高的能量提高了，原来较低的能量降低了 —— 能级间“排斥作用” ii) 波矢k非常接近 ，k状态的能量和k’能量差别很小 将 按 泰勒级数展