二次函数中考压轴题(定值问题)解析精选幻灯片资料.doc

PAGE 1 二次函数中考压轴题（定值问题）解析精选 【例1】（2013?南通）如图，直线y=kx+b（b＞0）与抛物线相交于点A（x1，y1），B（x2，y2）两点，与x轴正半轴相交于点D，与y轴相交于点C，设△OCD的面积为S，且kS+32=0． （1）求b的值； （2）求证：点（y1，y2）在反比例函数的图象上； （3）求证：x1?OB+y2?OA=0． 考点： 二次函数综合题 专题： 压轴题． 分析： （1）先求出直线y=kx+b与x轴正半轴交点D的坐标及与y轴交点C的坐标，得到△OCD的面积S=﹣，再根据kS+32=0，及b＞0即可求出b的值； （2）先由y=kx+8，得x=，再将x=代入y=x2，整理得y2﹣（16+8k2）y+64=0，然后由已知条件直线y=kx+8与抛物线相交于点A（x1，y1），B（x2，y2）两点，知y1，y2是方程y2﹣（16+8k2）y+64=0的两个根，根据一元二次方程根与系数的关系得到y1?y2=64，即点（y1，y2）在反比例函数的图象上； （3）先由勾股定理，得出OA2=+，OB2=+，AB2=（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2，由（2）得y1?y2=64，又易得x1?x2=﹣64，则OA2+OB2=AB2，根据勾股定理的逆定理得出∠AOB=90°．再过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，根据两角对应相等的两三角形相似证明△AEO∽△OFB，由相似三角形对应边成比例得到=，即可证明x1?OB+y2?OA=0． 解答： （1）解：∵直线y=kx+b（b＞0）与x轴正半轴相交于点D，与y轴相交于点C， ∴令x=0，得y=b；令y=0，x=﹣， ∴△OCD的面积S=（﹣）?b=﹣． ∵kS+32=0， ∴k（﹣）+32=0， 解得b=±8， ∵b＞0， ∴b=8； （2）证明：由（1）知，直线的解析式为y=kx+8，即x=， 将x=代入y=x2，得y=（）2， 整理，得y2﹣（16+8k2）y+64=0． ∵直线y=kx+8与抛物线相交于点A（x1，y1），B（x2，y2）两点， ∴y1，y2是方程y2﹣（16+8k2）y+64=0的两个根， ∴y1?y2=64， ∴点（y1，y2）在反比例函数的图象上； （3）证明：由勾股定理，得 OA2=+，OB2=+，AB2=（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2， 由（2）得y1?y2=64， 同理，将y=kx+8代入y=x2， 得kx+8=x2，即x2﹣8kx﹣64=0， ∴x1?x2=﹣64， ∴AB2=+++﹣2x1?x2﹣2y1?y2=+++， 又∵OA2+OB2=+++， ∴OA2+OB2=AB2， ∴△OAB是直角三角形，∠AOB=90°． 如图，过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F． ∵∠AOB=90°， ∴∠AOE=90°﹣∠BOF=∠OBF， 又∵∠AEO=∠OFB=90°， ∴△AEO∽△OFB， ∴=， ∵OE=﹣x1，BF=y2， ∴=， ∴x1?OB+y2?OA=0． 点评： 本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有二次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，一次函数与二次函数的交点，一元二次方程根与系数的关系，勾股定理及其逆定理，相似三角形的判定与性质，综合性较强，难度适中．求出△OCD的面积S是解第（1）问的关键；根据函数与方程的关系，得到y1，y2是方程y2﹣（16+8k2）y+64=0的两个根，进而得出y1?y2=64是解第（2）问的关键；根据函数与方程的关系，一元二次方程根与系数的关系，勾股定理及其逆定理得出∠AOB=90°，是解第（3）问的关键． 【例2】（2013?吉林）如图①，在平面直角坐标系中，点P（0，m2）（m＞0）在y轴正半轴上，过点P作平行于x轴的直线，分别交抛物线C1：y=x2于点A、B，交抛物线C2：y=x2于点C、D．原点O关于直线AB的对称点为点Q，分别连接OA，OB，QC和QD． 【猜想与证明】 填表： m 1 2 3 由上表猜想：对任意m（m＞0）均有=　　．请证明你的猜想． 【探究与应用】 （1）利用上面的结论，可得△AOB与△CQD面积比为　　； （2）当△AOB和△CQD中有一个是等腰直角三角形时，求△CQD与△AOB面积之差； 【联想与拓展】 如图②过点A作y轴的平行线交抛物线C2于点E，过点D作y轴的平行线交抛物线C1于点F．在y轴上任取一点M，连接MA、ME、MD和MF，则△MAE与△MDF面积的比值为　　． 考点： 二次函数综合题 分析： 猜想与证明： 把P点的纵坐标分别代入C1、C2的解析式就可以AB、CD的值，就可以求出结论，从而发现规律得出对任意m（m＞0）将y=m2代入两个二次函数的解析式就可以分别表示出AB与CD