高等数学北大第二版方向导数和梯度.ppt

* 1. 方向导数 讨论函数 在一点P沿某一方向的变化率问题． 6-6 方向导数与梯度 6-6 方向导数与梯度 1. 方向导数 讨论函z=f(x,y) 在一点P沿某一方向的变化率问题． 如果函数增量 } 0 , 1 { 1 = e r 依定义，函数 ) , ( y x f 在点 P 沿着 x 轴正向 、 ? 即当 l 与 x 轴同向 ? 即当 l 与 x 轴反向 关于方向导数的存在及计算： 方向导数是偏导数的推广 定理 若函数 在点 处可微, 则 在该点沿任一方向 的方向导数均存在, 且 其中 为 的方向余弦. 证 例1 求函数 在点(1,2)处从点 到点 的方向的方向导数 . 解 首先计算f 在点(1,2)处的偏导数： 其次计算给定方向的方向余弦. 故所求方向导数 对于三元函数 ) , , ( z y x f u = 可以类似地定义点 　且　的方向余弦为　　　　　　　 , 则　　　 沿着方向 的方向导数. 在　点可微 若 例2 解 根据定义 先求 的方向余弦. 2. 梯度 方向导数公式 方向导数取最大值： 这说明 方向：f 变化率最大的方向 模 : f 的最大变化率之值