高阶导数与其应用.ppt

* 2.4 高阶导数及其应用 2.4.1 高阶导数的概念 2.4.2 二阶导数的意义 2.4.1 高阶导数的概念 一、案例 二、概念和公式的引出 三、进一步练习 一、案例 [加速度的表示] 我们知道，变速直线运动的速度v(t)是路程函数s(t) 关于时间t的导数，即 或 ，而加速度 a又是速度v(t)关于时间t的导数，即 或 我们称这种导数 的导数 或 为s(t)对t的二阶导数。 二、 概念和公式的引出 对于函数y= f (x),称 的导数为函数 二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数． 类似地，二阶导数 的导数称为y= f (x)的三阶导数， y= f (x)的n-1阶导数 的导数称为y= f (x)的n阶导数， n阶导数 的二阶导导数，记作 或 、 。 或 记作 、 或 记作 、 三、进一步的练习 在测试一汽车的刹车性能时发现，刹车后汽车 练习1 [刹车测试] 假设汽车作直线运动，求汽车在t=4s时的速度和 加速度． 行驶的距离（单位：m）与时间t (单位：s)满足 汽车刹车后的速度为 解 (m/s)， 汽车刹车后的加速度为 (m/s2)， t=4s时，汽车的速度为 t=4s时，汽车的加速度为 0 (m/s)， (m/s2)， 2.4.2 二阶导数的意义 一、案例 二、概念和公式的引出 三、进一步练习 1985年美国的一家报刊报道了国防部长抱怨国会和参议院削减了国防预算．但是他的对手却反驳道，国会只是削减了国防预算增长的变化率．换句话说，若用f (x)表示预算关于时间的函数，那么预算的导数 一、案例 [国防预算] 预算仍然在增加，只是 即预算的增长 变缓了． 二、 概念和公式的引出 曲线的凹、凸与拐点: 在区间I上任意作曲线y=f (x)的切线，若曲线总是在 切线上方，则称此曲线在区间I上是凹的；若曲线 总是在切线下方，则称此曲线在区间I上是凸的． 曲线凹、凸性的分界点称为曲线的拐点． (a,b)内具有二阶导数，如果对于任意 ，有 曲线凹凸性的判定: 设函数f (x)在闭区间[a,b]上连续，且在开区间 (1) ，则函数f (x)在区间[a,b]上是凹的； (2) ，则函数 f (x)在区间 [a,b]上是凸的． 练习1 [水量增加量] 的正、负符号分别为什么？ 增加，但增加量越来越小，则 解 因为水量W随着时间的增加而增加，所以 但因为增加量越来越小，所以 如果一个容器中的水量W随着时间的增加而 三、 进一步练习 练习2[通货膨涨] 在通货膨涨期间， p (t)将迅速增加。 (1) 通货膨涨仍然存在。 (2) 通货膨涨率正在下降。 (3) 在不久的将来，物价将稳定下来。 请用p (t)的导数描述以下叙述： 设函数p (t)表示在时刻t某种产品的价格，则 表示产品的价格不再上升，即物价将稳定下来． 解 (1) 表示产品的价格在上升，即通货膨涨仍然存在。 (2) 表示通货膨涨存在， 表示通货膨涨率正在下降； (3) 练习3 [股票曲线] 叙述判定P(t)的一阶、二阶导数的正、负号． (1) 股票价格上升得越来越快； (2) 股票价格接近最低点； (3) 如图所示为某种股票某天的价格 走势曲线，请说明该股票当天的走势． 假设P(t)代表在时刻t某公司的股票价格.请根据以下