高等数学北大第二版多元函数极限.ppt

* 6-2 多元函数的极限 1. 二元函数的极限概念 定义1 设 在点 的某个空心邻域内有定义,若有一常数A,对任意给定的正数 都存在正数 ,使得当 时，就有 则称　　　趋于　　　 时　　　以Ａ为极限．　　 则下面定义2 定义1 定义2 设 在点 的某个空心邻域内有定义,若有一常数A,对任意给定的 都存在一个 　　,使得当 时，就有 证 定义2 定义1 从而推出，当 定义1 定义2： 例1 证 因为 例2 设 求证 证 故 总有 必须注意 (1)二重极限存在, 是指P以任何方式趋于P0时, 函数都无限接近于A . (2)如果当P以两种不同方式趋于P0时, 函数趋于不同的值, 则函数的极限不存在. 讨论 例 3 问函数 解 设 P(x , y) 沿直线 y = k x 趋于点 (0, 0) , 则有 k 值不同极限不同 ! 在 (0,0) 点极限不存在 . 2. 二元函数的极限运算法则与基本性质 定理1 设 与 在点 的一个空心邻域内有定义, 若 则 当　　时 定理２ 定理３(夹逼定理) 设 与 在点 的一个空心邻域内有定义, 且 并且当 , 及 分别以　及　为极限，则　　　即 　　　设 与 在点 的一个 空心邻域内有定义, 且 若 则 定理4 (复合函数的极限定理) 设 及 在点 的一个空心邻域内有定义, 且有极限: 又设 在点 的一个空心邻域内有定义, 且使得当 在 的空心邻域内时,函数 有定义;并且当 时, 函数 的极限为 则当 时,复合函数 也有极限,并且等于 定理5 设 是定义在 点的一个空心邻域 内的一元函数,且有极限 又设 是定义在 点的一个空心邻域内的二元函数,且 则 例4 证明 证 则 解 令 再由定理5及例2可知 那么，由定理4我们得到 例 5 求极限