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对数的运算性质
1.例题分析:
例1.用,,表示下列各式: (2).(1); (2).
(2)
.
解:(1)
;
例2.求下列各式的值:
(1); (2) .
解:(1)原式==;
(2)原式=
例3.计算:(1)lg1421g; (2); (3).
解:(1)解法一:
;
解法二:=;
说明:本例体现了对数运算性质的灵活运用,运算性质常常逆用,应引起足够的重视。
(2);
(3)=.
例4.已知,,求的值。
分析:此题应注意已知条件中的真数2,3,与所求中的真数有内在联系,故应将1.44进行恰当变形:,然后应用对数的运算性质即可出现已知条件的形式。
解: .
说明:此题应强调注意已知与所求的内在联系。
例5.已知,求.
分析:由于是真数,故可直接利用对数定义求解;另外,由于等式右端为两实数和的形式,的存在使变形产生困难,故可考虑将移到等式左端,或者将变为对数形式。
解:(法一)由对数定义可知:.
(法二)由已知移项可得,即,由对数定义知:,∴ .
(法三),∴,∴ .
说明:此题有多种解法,体现了基本概念和运算性质的灵活运用,可以对于对数定义及运算性质的理解。
1.对数的运算性质:
如果 a 0 , a ? 1, M 0 ,N 0, 那么(1);(2);
(3).
证明:(性质1)设,,
(性质3)设,由对数的定义可得 ,∴,
(性质3)
设,
由对数的定义可得 ,
∴,
∴,
即证得.
∴,
∴,
即证得.
练习:证明性质2.
说明:(1)语言表达:“积的对数 = 对数的和”……(简易表达以帮助记忆);
(2)注意有时必须逆向运算:如 ;
(3)注意定义域: 是不成立的,
是不成立的;
(4)当心记忆错误:,试举反例,
,试举反例。
例6.(1)已知,用a表示;(2)已知,,用、表示 .
解:(1)∵,∴, ∴ log 3 4 ? log 3 6 = .
(2)∵, ∴,
又∵,∴=.
换底公式
1.换底公式: ( a 0 , a ? 1 ;)
证明:设,则,两边取以为底的对数得:,∴,
从而得: , ∴ .
说明:两个较为常用的推论:
(1) ; (2) (、且均不为1).
证明:(1) ;(2) .
2.例题分析:
例1.计算:(1) ; (2).
解:(1)原式 = ;
(2) 原式 = .
例2.已知,,求(用 a, b 表示).
解:∵, ∴, ∴,
又∵, ∴, ∴.
例3.设 ,求证:.
证明:∵,∴ ,
∴ .
例4.若,,求.
解:∵, ∴,
又∵ ,∴ , ∴ ∴ .
例5.计算:.
解:原式
.
例6.若 ,求.
解:由题意可得:, ∴,∴.
对数函数
例1.求下列函数的定义域:
(1); (2); (3).
分析:此题主要利用对数函数的定义域求解。
解:(1)由0得,∴函数的定义域是;
(2)由得,∴函数的定义域是;
(3)由9-得-3,∴函数的定义域是.
说明:此题只是对数函数性质的简单应用,应强调学生注意书写格式。
例2.求函数和函数的反函数。
解:(1) ∴ ;
(2) ∴ .
例4.比较下列各组数中两个值的大小:
(1),; (2),; (3),.
解:(1)对数函数在上是增函数,
于是;
(2)对数函数在上是减函数,
于是;
(3)当时,对数函数在上是增函数,
于是,
当时,对数函数在上是减函数,
于是.
例5.比较下列比较下列各组数中两个值的大小:
(1),; (2),;
(3),,; (4),,.
解:(1)∵, ,∴;
(2)∵, ,∴.
(3)∵, , ,
∴.
(4)∵, ∴.
例6.已知,比较,的大小。
解:∵, ∴,当,时,得,
∴, ∴.当,时,得,
∴, ∴.当,时,得,,
∴,, ∴.
综上所述,,的大小关系为或或.
例7.求下列函数的值域:
(1);(2);(3)(且).
解:(1)令,则, ∵, ∴,即函数值域为.
(2)令,则, ∴, 即函数值域为.
(3)令, 当时,, 即值域为,
当时,, 即值域为.
例8.判断函数的奇偶性。
解:∵恒成立,故的定义域为,
,所以,为奇函数。
例9.求函数的单调区间。
解:令在上递增,在上递减,
又∵, ∴或,
故在上递增,在上递减, 又∵为减函数,
所以,
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