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导数与微分课件知识讲稿.ppt

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解一 例11 两边对x求导,由链导法有 解二称为对数求导法,可用来求幂指函数和多个因子连乘积函数、开方及其它适用于对数化简的函数的求导 注: 解二 解: 将函数取自然对数得 两边对x求导得 例12 且 设 均可导, 具有单值连续 反函数 ,则参数方程确定的函数可看成 与 复合而成的函数, 根据求导法则有: 求得y对x的导数 对参数方程所确定的函数y=f(x),可利用参数方程直接 此即参数方程所确定函数的求导公式 2.参数方程所确定的函数的导数 变量y与x之间的函数关系有时是由参数方程 确定的,其中t 称为参数 解: 曲线上对应t =1的点(x, y)为(0,0), 曲线t =1在处的切线斜率为 于是所求的切线方程为 y =-x 求曲线 在t =1处的切线方程 例13 简单介绍一下对由方程确定的函数求二阶导数的方法,关键是正确写出一阶导数的正确形式。 前页 结束 后页 前页 结束 后页 第2章 导数与微分 结束 本章共六节,大体上分为两部分。其中第一部分是导数,第二部分是微分,从结构上来说它们是平行的。 2.1.1 引出导数概念的实例 例1 平面曲线的切线斜率 曲线 的图像如图所示, 在曲线上任取两点 和 ,作割线 ,割线的斜率为 2.1 导数的概念 当 趋向于0时,如果极限 设某产品的总成本C是产量Q的函数,即C=C(Q ),当产量Q 从 变到 时,总成本相应地改变量为 当产量从 变到 时,总成本的平均变化率 存在,则称此极限是产量为 时总成本的变化率。 例2 产品总成本的变化率 定义 设y=f(x)在点x0的某邻域内有定义, 属于该邻域,记 若 存在,则称其极限值为y = f (x)在点x0 处的导数,记为 或 2.1.2 导数的概念 导数定义与下面的形式等价: 若y =f (x)在x= x0 的导数存在,则称y=f(x)在点x0 处可导,反之称y = f (x)在x = x0 不可导,此时意味着不存在.函数的可导性与函数的连续性的概念都是描述函数在一点处的性态,导数的大小反映了函数在一点处变化(增大或减小)的快慢. 书上50页还有几个常见的形式,值得注意的是其中的第二个一般来说只能在已知导数存在的时候使用。另外,导数为无穷只是个记号,不代表导数存在。 三、左导数与右导数 左导数: 右导数: 显然可以用下面的形式来定义左、右导数 定理3.1 y = f (x)在x =x0可导的充分必要条件是 y = f (x)在x=x0 的左、右导数存在且相等. 三、导数的几何意义 当自变量 从变化到 时,曲线y=f(x)上的点由 变到 此时 为割线两端点M0,M的横坐标之差,而 则为M0,M 的纵坐标之差,所以 即为过M0,M两点的割线的斜率. M0 M 曲线y = f (x)在点M0处的切线即为割线M0M当M沿曲 线y=f(x)无限接近 时的极限位置M0P,因而当 时,割线斜率的极限值就是切线的斜率.即: 所以,导数 的几何意义是曲线y = f (x) 在点M0(x0,f(x0))处的切线斜率. M0 M 设函数y=f(x)在点处可导,则曲线y=f(x)在点处的切线方程为: 而当 时,曲线 在 的切线方程为 (即法线平行y轴). 当 时,曲线 在 的法线方程为 而当 时,曲线 在 的法线方程为 例3 求函数 的导数 解: (1)求增量: (2)算比值: (3)取极限: 同理可得: 特别地, .

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