三角形三边关系的典型题例析.doc

- PAGE 1 - 三角形三边关系的典型题例析 江苏 刘顿 三角形的三条边之间主要有这样的关系：三角形的两边的和大于第三边，三角形的两边的差小于第三边.利用这两个关系可以解决许多典型的几何题目.现举例说明. 一、确定三角形某一边的取值范围问题 根据三角形三边之间关系定理和推论可得结论： 已知三角形的两边为a、b，则第三边c满足|a－b|＜c＜a＋b. 例1 用三条绳子打结成三角形(不考虑结头长)，已知其中两条长分别是3m和7 简析　设第三条绳子的长为xm，则7－3＜x＜7＋3，即4＜x＜10. 故第三条绳子的长应大于4m且小于10 二、判定三条线段能否组成三角形问题 根据三角形的三边关系，只需判断最小的两边之和是否大于第三边即可. 例2　（1）（2003年福建三明市中考试题）下列长度的三根木棒首尾相接，不能做成三角形框架的是（ ） A.5cm、7cm、10cm 　　B. C.5cm、7cm、13cm 　　D. （2）（2004年哈尔滨市中考试题）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ） A.1cm,2cm,4cm B.8cm,6cm,4cm　　C.12cm, 简析 由三角形的三边关系可知：(1)5+7＜13，故应选C；(2)6+4＞8，故应选B. 例3 有下列长度的三条线段能否组成三角形？ （1）a－3，a，3(其中a＞3)； （2）a，a＋4，a＋6(其中a＞0)； （3）a＋1，a＋1，2a(其中a 简析（1）因为(a－3)＋3=a，所以以线段a－3，a，3为边的三条线段不能组成三角形. （2）因为(a＋6)－a =6，而6与a＋4的大小关系不能确定， 所以以线段a，a＋4，a＋6为边的三条线段不一定能组成三角形. （3）因为(a＋1)＋(a＋1)=2a＋2＞2，(a＋1)＋2a=3a 所以以线段a＋1，a＋1，2a 三、求三角形某一边的长度问题 此类问题往往有陷阱，即在根据题设条件求得结论时，其中可能有一个答案是错误的，需要我们去鉴别，而鉴别的依据就是这里的定理及推论. 例4 已知等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm和21 简析　如图1，设腰AB=xcm，底BC=ycm，D为AC边的中点. 根据题意，得x+x＝12，且y+x＝21；或x+x＝21，且y+x＝12. 解得x＝8，y＝17；或x＝14，y＝5. 显然当x=8，y=17时，8＋8＜17不符合定理，应舍去.故此三角形的腰长是14cm 例5　一个三角形的两边分别是2厘米和9厘米，第三边长是一个奇数，则第三边长为______. 简析 设第三边长为x厘米，因为9-2x9+2，即7x11，而x是奇数， 所以x=9.故应填上9厘米. 图2 图2 图1 D C B A 四、求三角形的周长问题 此类求三角形的周长问题和求三角形某一边的长度问题一样，也会设计陷阱，所以也应避免答案的错误. 例6　已知等腰三角形的一边等于5,另一边等于6,则它的周长等于_______. 简析　已知等腰三角形的一边等于5,另一边等于6，并没有指明是腰还是底， 故应由三角形的三边关系进行分类讨论，当5是腰时，则底是6，即周长等于16； 当6是腰时，则底是5，即周长等于17.故这个等腰三角形的周长是16或17. 五、判断三角形的形状问题 判断三角形的形状主要是根据条件寻找边之间的关系. 例7　已知a、b、c是三角形的三边，且满足a2+b2+c2－ab－bc－ca=0.试判断三角形的形状. 简析　因为a2+b2+c2－ab－bc－ca=0，则有2a2+2b2+2c2－2ab－2bc－2 于是有（a－b）2+（ｂ－ｃ）2+（ｃ－a）2＝0. 此时有非负数的性质知（a－b）2=0；（ｂ－ｃ）2=0；（ｃ－a）2＝0， 即a－b=0；ｂ－ｃ=0；ｃ－a=0.故a=b=c.所以此三角形是等边三角形. 六、化简代数式问题 这里主要是运用两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，从而确定代数式的符号. 例8 已知三角形三边长为a、b、c，且|a＋b－c|＋|a－b－c|=10，求b的值. 简析　因a＋b＞c，故a＋b－c＞0`因a－b＜c，故a－b－c＜0. 所以|a＋b－c|＋|a－b－c|= a＋b－c－(a－b－c)=2b=10.故b=5. 七、确定组成三角形的个数问题 要确定三角形的个数只需根据题意，运用三角形三边关系逐一验证，做到不漏不重. 例9 现有长度分别为2cm、3cm、4cm、5 A.1　　　　B.2　　　　　C.3　　　　　D 简析 由三角形的三边关系知：若以长度分别为2cm、3cm、4cm，则可以组成三角形；若以长度分别为3cm、4cm、5cm，则可以组成三角形；若以长度分别为2cm、3cm、5cm，则不可以组成三角形；若以长度分别为