高中三年级数学综合复习知识点整理.doc

. . . 专业资料. 第1讲 集 合 1．集合：某些指定的对象集在一起成为集合 （1）集合中的对象称元素，若a是集合A的元素，记作；若b不是集合A的元素，记作； （2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性； 确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立； 互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素； 无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关； （3）表示一个集合可用列举法、描述法或图示法； 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内； 描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内。 具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。 注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。 （4）常用数集及其记法： 非负整数集（或自然数集），记作N； 正整数集，记作N*或N+； 整数集，记作Z； 有理数集，记作Q； 实数集，记作R。 2．集合的包含关系： （1）集合A的任何一个元素都是集合B的元素，则称A是B的子集（或B包含A），记作AB（或）； 集合相等：构成两个集合的元素完全一样。若AB且BA，则称A等于B，记作A=B；若AB且A≠B，则称A是B的真子集，记作A B； （2）简单性质：1）AA；2）A；3）若AB，BC，则AC；4）若集合A是n个元素的集合，则集合A有2n个子集（其中2n－1个真子集）； 3．全集与补集： （1）包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集，记作U； （2）若S是一个集合，AS，则，=称S中子集A的补集； （3）简单性质：1）()=A；2）S=，=S 4．交集与并集： （1）一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集。交集。 （2）一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集。 注意：求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。 5．集合的简单性质： （1） （2） （3） （4） （5）（A∩B）=（A）∪（B）， （A∪B）=（A）∩（B）。 【典例解析】 题型1：集合的概念 例1．（2009广东卷理）已知全集，集合和 的关系的韦恩（Venn）图如图1所示，则阴影部分所示的集合的元素共有 ( ) A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 无穷多个 答案 B 解析 由得，则，有2个，选B. 例2．(2009山东卷理)集合,,若,则的值为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.4 答案 D 解析 ∵,,∴∴,故选D. 题型2：集合的性质 例3．(2009山东卷理)集合,,若,则的值为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.4 答案 D 解析 ∵,,∴∴,故选D. 1.设全集U=R，A={x∈N︱1≤x≤10}，B={ x∈R︱x 2+ x－6=0}，则下图中阴影表示的集合为 （ ） A．{2} B．{3} C.{－3，2} D．{－2，3} 2. 已知集合A={y|y2-(a2+a+1)y+a(a2+1)0},B={y|y2-6y+8≤0}，若A∩B≠φ，则实数a的取值范围为（ ）． 解：由题知可解得A={y|ya2+1或ya}, B={y|2≤y≤4},我们不妨先考虑当A∩B＝φ时a的范围．如图 由，得 ∴或. 即A∩B＝φ时a的范围为或.而A∩B≠φ时a的范围显然是其补集,从而所求范围为. 注：一般地，我们在解时，若正面情形较为复杂，我们就可以先考虑其反面，再利用其补集，求得其解，这就是“补集思想”． 例4．已知全集，A={1,}如果，则这样的实数是否存在？若存在，求出，若不存在，说明理由 解：∵； ∴，即＝0，解得 当时，，为A中元素； 当时， 当时， ∴这样的实数x存在，是或。 另法：∵ ∴，