高中数学必修一函数解题方法.docx

函数习题课（I）函数定义域和值域的求法 一、求函数定义域的方法 （一）直接法求定义域 关注一些特殊函数的定义域或关注一些特殊的収值，从而使得函数有意义，直接限制自变 量的取值范围。 一般需要关注的解题要点： （1）分母不为零（2）偶次根式的被开方数非负。 （3）对数中的真数部分大于0。 （4）指数、对数的底数大于0,且不等于1 （5） y=tanx 中 xHkn + n/2； y=cotx 中 xHk n 等等。（6）兀° 中 xHO 例1求下列函数定义域 ① /（X）= ? /（X）= Vx+1 + —^― x-2 2-x ③心竽 ③心竽④心 yl x2 — 3x ~ 4 _x+l|-2 ⑤H+3+詰7 （二）解题时要关注定义域 函数的三要素是定义域，值域和对应关系。其中定义域是规定函数自变量取值范围的关键, 是题目限制条件的体现。由于常常被忽略，因此是命题人常将隐含条件设讣于其中。若想正 确地解决函数相关问题，必须在解题吋关注定义域，把它明确地写出来。 例2已知惭数/（x） = 2 + log3Xl^9）,求函数［/（x）］2 +/（x2）的最大值。 例3求函数/（x） = log. a/x2-2x （q0且ghI）的单调增区间。 （三）有关抽象函数的定义域问题 抽象函数的自变量始终是x（或其他字母），但是由于对应法则所作用的x形式不同（如x+2,x? 等），于是就有了有关抽象函数的定义域问题。解决抽象函数的定义域问题需要紧紧抓住一 点：括号里面的所有代数式的取值范围是相同的。 例4已知函数/（兀）的定义域为［0,2］,求/（2兀+ 1）的定义域。 例5已知函数/（2x + l）的定义域为（-1,5］,求/（兀）的定义域。 例6已知函数/（x + 1）的定义域为［0,2］,求f（3x2 +x）的定义域。 二、求函数值域的方法 （一）层层分析法（直接法） 这种方法适合值域明显的复合函数或多个值域明显的函数相加减得到的函数求值域」在分 析的题目中常常以分式为背景，当遇到分式上下都有自变量x的时候，要注意分离常数法的 2-2x 例7求函数y —的值域。 2A -1 O r2 _ Y I 1 ] 例8求函数—d (x-)的值域 2x-l 2 兀2 + 4工+ 3 例9求函数y =几广分兀 的值域 x + x — 6 例10 例10求函数y二 的值域 （二） 换元法 常用来处理含根式的函数求值域。分以下儿种情况： 1 ?出现单根式时用代数换元 例11求函数y = 的值域 x + 3 例12求函数y = 2x+J1 -3兀的值域 出现平方和为定值（常有双根式）时用三角换元 例13求函数y = —兀+丿3兀+ 6的值域 例14求函数y = x + 2 + Jl —（x + l）2的值域 出现指数或高次函数有时也用换元法 另例 求函数y = 9x-3x+2 （x g [0,1]）的值域 （三） 儿何意义法 利用函数的几何意义将函数转化成距离的和或差从而利用数形结合的方法处理函数的值 域。常用来解决含绝对值函数，含根式的函数的值域问题。 1?出现绝对值时转化成数轴上两点的和与差 例15求函数y= x-l|+|x+4|的值域 出现双根式时考虑两点I可距离 例16求函数y = 7x2+4+7x2 -6x4-10的值域 例17求函数y = y/x2 -6^ + 13x? +4x+5的值域 出现绝对值时也可以考虑转化为点到直线距离 例18求函数歹=2x_2』4_（x_2『+7的值域 出现分式时可以考虑转化为斜率 例19求函数3-sinx的值域 2 - cos x 函数习题课(II)函数解析式的求法，分段函数 一、函数解析式的求法 待定系数法 若题目中己经明确给出了函数的形式(如一次函数、二次函数、指数函数等)可以利用待 定系数法现将函数解析式设岀，再利用题目已经给出的关系进行带入化简，通过对比系数进 行对于函数解析式的确定。 例1已知一次函数/(X),且于[/(兀)]=4兀+ 3,求/(兀)解析式 拼凑换元法 己知复合函数/[g(Q]的解析式时，通过在已知的解析式屮拼凑出g(x)或通过换元法对 解析式进行处理后得到解析式。重要的是不能忽略拼凑或换元前后泄义域的变化。 | | Y 例2已知/(—)=—— X 1 - X ,求/(cos2 x)的解析式 例3已知y(x + -) = x2+4(^0),求/(x)的解析式 X 2 方程组法求解析式 同时出现兀，丄，-兀等有关的函数解析式时，常用列方程组的方法来求解析式O X 例4设/(x)为偶函数，巩兀)为奇函数，且/(x) + g(x)二丄，试求/(x), g(x)的解 X-1 析式 抽象函数求解析式 解决抽象函数问题的一种最常用的方法就是赋值法。当抽象函数相关的题目中先给出了 某一函数值，后续