高中数学函数与方程思想.doc

函数与方程思想 数学思想是数学活动的指导思想，是数学活动的一般概括。它是从整体和思 维的更高层次上指导考生有效地认识数学本质，运用数学知识发现、完善数学知 识结构，探寻解题的方向和途径。通过概括、比较上升为数学能力，并通过数学 思想的运用，培养学生初步的科学方法论，提高思维素质，增强思维能力。数学 思想的教学使屮学数学教学进一步走向现代化。第一轮复习中，数学思想尚处于 隐含、渗透的阶段。第二轮复习有必要明确地突出其重要作用，使考生清楚地认 识到只有在数学思想的指导下的解题活动，才是科学的解题活动，才具有很强的 能动作用和创造作用。 从高考的实际出发，本书只强调现行热点的函数与方程思想、数形结合思想、 分类讨论思想、转化与化归思想。 函数是高中数学的主线，它用联系和运动、变化的观点研究、描述客观世界 中相互关联的量之间的依存关系，形成变量数学的一大重要基础和分枝。函数思 想以函数知识做基石，用运动变化的观点分析和研究数学对象间的数量关系，使 函数知识的应用得到极大的扩展，丰富并优化了数学解题活动，给数学解题带来 一股很强的创新能力。因此，越来越成为数学高考的长考不衰的热点。 函数思想在高考中的应用主要是函数的概念。性质及图像的应用，包括显化、 传换、构造、建立函数关系解题四个方面。 方程思想是从问题的数量关系出发，运用数学语言将问题中的条件转化为方 程、不等式或它们的混合组，通过解方程（组）、不等式（组）或其混合组使问 题获解。包括待定系数法，换无法、转换法和构造方程法四个方面。 函数思想与方程思想的联系十分密切。解方程夬兀）=0就是求函数y=/（力当 函数值为零时自变量x的值；求综合方程./U）二g（x）的根或根的个数就是求函数y 与尸g（兀）的图像的交点或交点个数；合参数的方程0=0和参数方程更 是具有函数因素，属能随参数的变化而变化的动态方程。它所研究的数学对象已 经不是一些孤立的点，而是具有某种共性的几何曲线。正是这些联系，促成了函 数与方程思想在数学解题中的互化互换，丰富了数学解题的思想宝库。 显化函数关系 在方程、不等式、最值、数列、圆锥曲线等数学问题中，将原有隐含的函数 关系凸显出来，从而使用函数知识或函数方法使问题获解. ?‘ 例题1.在数列｛。”｝屮，。]=15,以后各T贝d] afl+\ —cin ——,求数列｛為｝的前 n项和的最大值. 分析：由题设易知数列｛外｝为等差数列，其通项的一个充要条件形式就是n 的一次函数，妒為+B, （A、BWR）欲求前舁项和S”的最大值只需利用划的单 调性转化为如O, 67/1+10即可获解. .. 2 2 . 2 解： T afl+1-an — —, ?: d=an-\—atl= — —, ⑦二 15, ?: an=15 — — 3 3 45 47 解得—/7— （/?e N），即/? = 23?故数列｛an｝的前23项的和最大. 2 2 点拨解疑：数列是定义在自然数集N上的特殊函数，等差、等比数列的通 项公式，前料项和公式都具有隐含的函数关系，都可以看成〃的函数.在解等差 数列、等比数列问题中，有意识地凸现其函数关系、从而用函数思想或函数方法 研究、解决问题，不仅常能获得简便优秀的解法，且能促进科学思维的培养，提 高发散思维的水平. 转换函数关系 在函数性态、曲线性质或不等式的综合问题、恒成立问题中逆求参数的取值 范围，按照原有的函数关系很难奏效时，灵活转换思维角度，放弃题设的主参限 制，挑选合适的主变元，揭示它与其它变元的函数关系，切人问题本质，从而使 原问题获解. 例题2.已知函数加二『+才+5,其屮为常数，若当1］时, /U）有意义，求实数a的取值范围. 分析：参数a深含在一个复杂的复合函数的表达式中，欲直接建立关于g的 不等式（组）非常困难，故应转换思维角度，设法从原式中把。分离出来，重新 认识。与其它变元⑴的依存关系，利用新的函数关系，常可使原问题“柳暗花明”. 解. f +° a 0,且 / 一 口+］二⑺—丄尸+ 3 0,.?■ 1+2乂40, 当用（一a, 1］吋，尸丄与尸丄都是减函数， 「4A 2A ???尸- d + t）在（一8,1］上是增函数，- （［+丄）〃加一 J TOC \o 1-5 \h \z 2 4 2 4 ???6/--,故0的取值范围是（--,+oo）. 4 4 点拨解疑：发掘、提炼多变元问题中变元间的相互依存、相互制约的关系、 反客为主，主客换位，创设新的函数，并利用新函数的性质创造性地使原问题获 解，是解题人思维品质高的表现.本题主客换位后，利用新建函数尸-（丄+丄） 4 2、 的单调性转换为函数最值巧妙地求出了实数G的取值范圉.此法也叫主元法. 构造函数关系 在数学各分支形形色色的数学问题或综合题中，将非函数问题的条件或结 论