- 1、本文档共19页,可阅读全部内容。
- 2、有哪些信誉好的足球投注网站(book118)网站文档一经付费(服务费),不意味着购买了该文档的版权,仅供个人/单位学习、研究之用,不得用于商业用途,未经授权,严禁复制、发行、汇编、翻译或者网络传播等,侵权必究。
- 3、本站所有内容均由合作方或网友上传,本站不对文档的完整性、权威性及其观点立场正确性做任何保证或承诺!文档内容仅供研究参考,付费前请自行鉴别。如您付费,意味着您自己接受本站规则且自行承担风险,本站不退款、不进行额外附加服务;查看《如何避免下载的几个坑》。如果您已付费下载过本站文档,您可以点击 这里二次下载。
- 4、如文档侵犯商业秘密、侵犯著作权、侵犯人身权等,请点击“版权申诉”(推荐),也可以打举报电话:400-050-0827(电话支持时间:9:00-18:30)。
- 5、该文档为VIP文档,如果想要下载,成为VIP会员后,下载免费。
- 6、成为VIP后,下载本文档将扣除1次下载权益。下载后,不支持退款、换文档。如有疑问请联系我们。
- 7、成为VIP后,您将拥有八大权益,权益包括:VIP文档下载权益、阅读免打扰、文档格式转换、高级专利检索、专属身份标志、高级客服、多端互通、版权登记。
- 8、VIP文档为合作方或网友上传,每下载1次, 网站将根据用户上传文档的质量评分、类型等,对文档贡献者给予高额补贴、流量扶持。如果你也想贡献VIP文档。上传文档
查看更多
复旦大学硕士学位论文
第一章 引言
拓扑学最初的发展萌芽始于哥尼斯堡七桥问题,多面体的欧拉定理,四色
问题等一系列问题.而后,由于其它数学学科的发展需要,特别是黎曼创立黎
曼几何以后,拓扑学概念被作为分析函数论的基础,拓扑学得到了迅猛的发展.
形成偏重于用分析的方法来研究的点集拓扑学,用组合方法来研究的组合拓
扑,用微分方法来研究的微分拓扑,用几何方法来研究的几何拓扑,以及用代
数方法来研究的代数拓扑学等.拓扑学在二十世纪的辉煌,从众多名拓扑学家
获得菲尔兹奖就可见一斑.
拓扑学是研究拓扑空间在拓扑变换(即同胚)下不变性质的几何.它的一
个基本问题就是如何对所有拓扑空间进行同胚分类.一般来说,这是极其复杂
困难的问题.在上世纪30年代,Whitney证明了任何流形均可嵌入到欧氏空间
中,使得流形逐渐地成为拓扑和几何的一个重要的研究主体.自然地,对其进
行各种意义下的分类成为主要目标,而上世纪发展起来的代数拓扑提供了一个
有效的工具和方法.
代数拓扑是利用代数学的方法和观点来研究拓扑,通过对应关系将空间
结构和代数结构联系起来,以实现从几何向代数的过渡.在代数拓扑萌芽时期,
数学家们发明了一种新的工具来描述这种复杂的对应关系一范畴理论.后来范
畴理论独立出来,并且已在许多数学分支有广泛的应用.目前代数拓扑学有相
互关联的四大领域:(1)同伦论;(2)同调论,特别是同调论的公理化,上同调及上
同调运算;(3)纤维丛和示性类理论;(4)拓扑变换群和不动点理论以及Morse理
论等.
无论同伦或同调,都是将每个拓扑空间X对应了一些群结构,而将两个空
间之间的连续映射对应了一些同态,这就是函子的思想.我们需要的函子总是
满足将同胚的拓扑空间对应成相同的群结构.同伦理论中,一个空间可对应一
个基本群,它给了我们关于拓扑空间结构的基本信息,但它们经常是非交换的,
往往很难使用.而在同调理论中,同调和上同调群是可交换群,并且在许多重
要情形下是有限生成的,而有限生成交换群有完整的分类,并且特别易于使用,
因此同调理论发展得较丰富.
在同调理论研究领域里,庞加莱首先建立可剖分空间的同调,然后人们开
始对于不一定可剖分的拓扑空间建立同调理论,以致1945前出现了多种同调
同调论公理化,才结束了这种情形.Eilenber皆Steenrod同调论公理有八条,除
1
复旦大学硕士学位论文
了维数公理之外的其余七条公理又被组成广义同调论,广义同调论也有很多
种,其中配边理论和K理论影响最大.
配边理论是一种有用的对于微分闭流形的粗分类.Thorn在1952年提出配
边理论,配边是流形间的一个等价关系,两个佗维闭流形称为配边,如果它们共
同构成一个n+l维流形的边.全体n维闭流形按配边关系划分成等价类,这些
等价类构成一个阿贝尔群%.而各维的群%又构成一个分次环9t.Thorn的
功绩在于完全定出9t的结构并定出其生成元.他还把配边理论推广到定向流
形,并且得到相应的结果.鉴于此Thom获得Fields奖,Thorn配边理论的主要结
果之一就是闭流形配边于零当且仅当它的所有Stiefel-Whitney数等于零.借助
配边理论德国数学家Hirzebruch证明高维代数簇的黎曼.洛赫定理,Milnor证
明七维球面上存在不同的微分结构,Atiyah和Singer给出指标公式最早证明.
Milnor等人又推广了更一般的配边理论,如复配边理论等等.总之,具有各自
几何背景的各种广义同调论的出现大大开拓了代数拓扑的领域,提高了用代数
方法解决几何问题的能力(参见[4】、【20】).
代数拓扑学中另一大类理论一一纤维丛和示性类一一的产生则是由于各
种示性类的相继发现.在1935年,光滑流形切丛的示性类被Stiefel定义;在同一
年,Whitney定义单纯复形上的球丛的示性类,其中他创造性的使用了上同调
的语言来描述这种示性类,产生了上同调示性类的概念,又证明]Whitney乘
性类.1946年陈省生为复向量丛定义了示性类.1966年Hirzebruch给出了公理
化定义(参见f131).
如果说一般的同调和同伦是对流形的静态研究,那么变换群思想就是对流
形进行动态的研究.变换群理论揭示拓扑空间,拓扑流形,微分流形,多面体的
对称性.通常对称群总是伴随着一个自然定义的拓扑(紧开拓扑),
您可能关注的文档
- 0.18-µmCMOS工艺2GHz单片集成频率合成器设计.pdf
- CMOS+RFIC衬底噪声分析与其对VCO性能的影响.pdf
- Doo-Sabin细分方法的改进.pdf
- FACTS提高暂态电压稳定性协调控制策略分析.pdf
- GSM频带中WCDMA干扰信号的抑制技术分析.pdf
- IC探针图像模式识别与测距技术分析.pdf
- NaCl溶液中沉淀硬化不锈钢的电化学行为.pdf
- OFDM系统中数字预失真技术分析.pdf
- PCI局部总线的分析与接口设计.pdf
- SnO_,2_Co_,2_O_,3_Nb_,2_O_,5_系列压敏电阻电学性质的分析.pdf
- 第十一章 电流和电路专题特训二 实物图与电路图的互画 教学设计 2024-2025学年鲁科版物理九年级上册.docx
- 人教版七年级上册信息技术6.3加工音频素材 教学设计.docx
- 5.1自然地理环境的整体性 说课教案 (1).docx
- 4.1 夯实法治基础 教学设计-2023-2024学年统编版九年级道德与法治上册.docx
- 3.1 光的色彩 颜色 电子教案 2023-2024学年苏科版为了八年级上学期.docx
- 小学体育与健康 四年级下册健康教育 教案.docx
- 2024-2025学年初中数学九年级下册北京课改版(2024)教学设计合集.docx
- 2024-2025学年初中科学七年级下册浙教版(2024)教学设计合集.docx
- 2024-2025学年小学信息技术(信息科技)六年级下册浙摄影版(2013)教学设计合集.docx
- 2024-2025学年小学美术二年级下册人美版(常锐伦、欧京海)教学设计合集.docx
文档评论(0)