高三文科数学学案解三角形.docx

二轮复习专题：解三角形(一) 一、 考纲要求： 掌握正、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题； 能够运用正、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和儿何计算有关的实际问题. 二、 必备知识： 正眩定理：孟=侖=孟€=2/?,其中R是三角形外接圆的半径?由正眩定理可以变 形： 。： b ： c=sin A ： sin B ： sin C； a=2/?sin A, b=2Rsin B, c=2/?sin C. 余眩定理 a2=b2+c2—2/?ccos A, b2=a1+c1—2accos B, c1=a2+b2—2abcos C. h2-he2—a2 a2~hc2~b2 _ ?2+Z?2—c2 变形：COSA= 2bc ，cos B= 2m ，cos C= lab - 射影定理(源自人教A版必修5《1.2应用举例》课后练习)： MBC中，a = bcosC + ccosB, Z? = acosC + ccosA, c = bcosA + acosB . 三角形中常见的结论： A+B+C=tl 在三角形屮大边对大角，反之亦然. 任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边. 三角形内的诱导公式： sin(A+B)=sin C； cos(A + B)= —cos C； , .A + B C A + B . C tan(A + B)= — tan C； sin—_=cosy； cos~—=sirr^. 在厶ABC 中，tan A + tan B+tan C=tan A tan B tan C. 在AABC中，A, B, C成等差数列的充要条件是3=60。. ⑺HABC为正三角形的充要条件是A, B, C成等差数列且°, b, c成等比数列. 三角形屮常用的面积公式： (\)S=^ah(h表示边a上的高)； S=*bcsin A=*acsin B=gabsin C； S=j^+b+c)(r为三角形的内切圆半径). 三、考点分类解析： 考点一 利用正弦、余弦定理解三角形 例1.（2014?辽宁高考）^AABC中，内角A, B, C的对边分别为a, b, c,且dc.已知页?貳 =2, cosB=* b=3,求：（I ） a 和 c 的值；（II）cos（B-C）的值. 解：⑴由 BA ? BC =2 得 cfcosB=2,又 cosB=*,所以 ac=6. 由余弦定理,得 a2+c2=+2accos B.又 b=3,所以 ￡?+c2=9+2x2= 13. 解丿72+c2 解丿 72+c2=13, c=3 d = 3, 或丄. 因为所以a=3, c=2. 因此 cos C=\ 1 因此 cos C=\ 1 —sin2C= 7-9 (2)在AABC 中，sinB= ^/l-cos2B= 由正弦定理，得sin C=vsin ^=|x 3^因a=bc,所以C是锐角, ]7 2 /2 4 12 23 于是 cos(B—C)=cos Bcos C+sin Bsin C=jx~+—x— ［类题通法］正、余弦定理的应用原则： （1） 正弦定理是一个连比等式，在运用此定理吋，只要知道其比值或等量关系就可以通过约 分达到解决问题的目的，在解题时要学会灵活运用； （2） 运用余弦定理时，要注意整体思想的运用. ［演练冲关］ 7T (2014-湖北高考)在厶ABC中，角4, B, C所对的边分别为a, b, c.己知A=g, a=l, TOC \o 1-5 \h \z b=￡,则 B = —— 3 3 （2017年新课标卷II文16） AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c ,若 2bcosB = acosC + ccosA ,则 B 二 — 3 （2017年新课标卷I文11） A ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知 sin B + sin A(sin C sin B + sin A(sin C 一 cos C) = 0 , a=2, c=近,贝 ij C= ( B 71 A.—— 12 兀 B. 一 6 71 D.- 3 （ 2013?辽宁）在厶ABC ,内角4, B , C所对的边长分别为a, b , c asinBcosC+csinBcos心尹且宀，贝S( A ) A.c. 271 A. c. 271 D. 考点二 利用正弦、余弦定理判定三角形的形状例 考点二 利用正弦、余弦定理判定三角形的形状 例2.(2013?陕西高考)i^AABC的内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 若 bcos C+ccos B =asinA,则△ABC的形状为(B ) A.锐角三角形B. A.锐角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.不确定 ［变式1］本例的条件变为：若2sinAcosB=sin C,那么△ ABC-定是