高中数列专题常见求和方法总结.docx

事|专题：数列及其数列求和 A重点、考点精读与点拨 一、基本知识 定义： .数列：按一定次序排序的一列数 等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一 个常数，则这个数列叫做等差数列 等比数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一 个常数，则这个数列叫做等比数列 通项公式与前n项和公式 ｛?｝为等差数列： a” =al+(n-l)d S” =旳 + 空曰〃=如如 ｛仇｝为等比数列： \-q \-q 常用性质 ⑺”｝为等差数列，则有 从第二项起，每项是前一项与后一项的等差屮项，陽二①屮* (nl) 2 * an = am + (?2-m)d (m,/2G N ) 若 m+n = p+q ,贝ij： am 4- an = ap + aq ,特殊的：若 m+n=2i?，贝ij有：am + an = 2ar 若am = n, an = m,则有：am+n = 0 若Sm =n9Sn =m,则有:Sm+Il = -(m + n) {o“}为等差数列 u an = pn + q (p,q为常数)o Sn = pn2 +qn (p,qw R) （7） Sm，S2m-Sm, S3m-S2m—仍成等差数列 （8） {an},{bfl}为等差数列，贝J {pan + qbn}为等差数列（p, q为常数） s （9） 若项数为偶数2n, S偶一S奇=nd ,— = TOC \o 1-5 \h \z S 偶 a,l+] s n 若项数奇数2n-l, S奇一S偶=色，一=—— S 偶 n-\ [an = Sn - Sn } （n2 （10） L ” /,_1 {?}为等比数列，则有 （1） 只有同号的两数才存在等比中项 （2） an - amqn~,n （m,ne TV*） （3） 若 m+n = p+q,则：am -an =ap-aqf 特殊的：若 m+n=2r,则有：am -an - ar2 （4） {an}9{bn}为等比数列,则{an-blt}t A} , {can}为等比数列（chO） hn （5） 等比数列中连续n项之积构成的新数列仍是等比数列，当时，连续项之和仍为 等比数列 （6） an = cqn （cHO,gHO） S“ =切一 工 0,g 工 1） 二、在数列中常见问题： 1、 等差数列的通项公式是关于n的一次函数，alt=dn + （a}-d）（定义域为正整数集）， 一次项的系数为公差；等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数， 片=￡料2+（%一彳加二次项系数为公差的一半，常数项为0.证明某数列是等差（比） 数列，通常利用等差（比）数列的定义加以证明，即证：Q曲-色=常数，（如=常数） [an 0 2、 等差数列当首项310且公差d0时（递减数列），前n项和存在最大值。利用 确 〔％ 0 定n值，即可求得Sn的最大值（也可以用二次函数的性质或图象解）。 等差数列当首项a产0且公差d0时（递增数列），前n项和存在最小值。 3、遇到数列前n项和Sn与通项％的关系的问题应利用色二……n = 1 [S,「-S“.??n2 3、遇到数列前n项和Sn与通项％的关系的问题应利用色二……n = 1 [S,「-S“.?? n2 a, = a 4、满足彳1 的数列，求通项用累加(消项)法, U+1 = an + fg 如：已知数列｛aj中,ai=l,an+i=an+2n,求 a“ ； 满足, 的数列，求通项用累乘(消项)法, 口+1 = anf(n) /2 如：已知数列｛aj中,ai=l,an+i= a*,求 a* ; 斤+ 1 三、数列求和的常用方法： (1)公式法：必须记住几个常见数列前n项和 等怎数列: S” n(n - \)d ~2- nax q = 1 等比数列：s”=]?(T) (2)分组求和:如：求1+1,丄+ 4，丄+ 7，…,一 +3^ — 2,…的前n项和 a a a、- 可进行分组即：1 +丄+丄+亠+……+丄+ 1 + 4 + 7 +……3n-2 a a2 a3 盯 前血是等比数列，后血是等差数列，分别求和 (3/? + 1)/7 (注: (3/7-1)/7 ~2- ⑶裂项法：如“右求S 常用的裂项 n(n + l) 丄__1_ n 〃 +1 —-—=-(-): = |[ n(n + 2) 2 n 〃 + 2 n(n +1)(/? + 2) 2 n(n +1) (? + !)(/?+ 2) ⑷错位相减法：其特点是cn=anbn其中｛an｝是等差，｛*｝是等比 如：求和 Sn=H-3x+5x2+7x3+ +(2n — l)xn 1 注意讨论 x, 2 n x = 1 sfl = \ (2/7 - l)x,,+1 - (In + l)xn +