高中数学函数解题技巧与方法.doc

专题4函数(理科) 一、 考点回顾 1 ?理解函数的概念，了解映射的概念. 2?了解函数的单调性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性的方法. 3?了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系，会求一些简单函数的反函数. 4?理解分数指数幕的概念，掌握有理指数幕的运算性质，掌握指数函数的概念、图象和性质. 5?理解对数的概念，掌握对数的运算性质，掌握对数函数的概念、图象和性质. 6?能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题. 二、 经典例题剖析 考点一：函数的性质与图象 函数的性质是研究初等函数的基石，也是高考考查的重点内容.在复习中要肯于在对定义的深入理 解上下功夫. 复习函数的性质，可以从“数”和“形俩个方面，从理解函数的单调性和奇偶性的定义入手，在判断 和证明函数的性质的问题中得以巩固，在求复合函数的单调区间、函数的最值及应用问题的过程中得以深 化.具体要求是： 正确理解函数单调性和奇偶性的定义，能准确判断函数的奇偶性，以及函数在某一区间的单调性, 能熟练运用定义证明函数的单调性和奇偶性. 从数形结合的角度认识函数的单调性和奇偶性，深化对函数性质几何特征的理解和运用，归纳总 结求函数最大值和最小值的常用方法. 培养学生用运动变化的观点分析问题，提高学生用换元、转化、数形结合等数学思想方法解决问 题的能力. 这部分内容的重点是对函数单调性和奇偶性定义的深入理解. 函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论.函数y=4x)在给定区间上的单调性，反映了函数在区 间上函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质，但不一定是函数在定义域上的整体性质.函数的单 调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制. 对函数奇偶性定义的理解，不能只停留在f(-x)=f(x)和耳一力=一心)这两个等式上，要明确对定义 域内任意一个x,都有f(-x)=f(x)f f(-x)=-f(x)的实质是：函数的定义域关于原点对称.这是函数具 备奇偶性的必要条件.稍加推广，可得函数f(x)的图象关于直线x=a对称的充要条件是对定义域内的任 意x,都有f(x+a)=f(a-x)成立.函数的奇偶性是其相应图象的特殊的对称性的反映. 这部分的难点是函数的单调性和奇偶性的综合运用.根据已知条件，调动相关知识，选择恰当的方 法解决问题，是对学生能力的较高要求. 函数的图象是函数性质的直观载体，函数的性质可以通过函数的图像直观地表现出来。 因此，掌握函数的图像是学好函数性质的关键，这也正是“数形结合思想”的体现。复习函数图像要注意 以下方面。 掌握描绘函数图象的两种基本方法一一描点法和图象变换法. 会利用函数图象，进一步研究函数的性质，解决方程、不等式中的问题. 用数形结合的思想、分类讨论的思想和转化变换的思想分析解决数学问题. 掌握知识之间的联系，进一步培养观察、分析、归纳、概括和综合分析能力. 以解析式表示的函数作图象的方法有两种，即列表描点法和图象变换法，掌握这两种方法是本节的 重点. 运用描点法作图象应避免描点前的盲目性，也应避免盲目地连点成线.要把表列在关键处，要把线 连在恰当处.这就要求对所要画图象的存在范围、大致特征、变化趋势等作一个大概的研究.而这个研究 要借助于函数性质、方程、不等式等理论和手段，是一个难点.用图象变换法作函数图象要确定以哪一种 函数的图象为基础进行变换，以及确定怎样的变换.这也是个难点. 例 4 设 a0,求函数 /(%) = 7x-ln(x + a)(xe(O, +°°))的单调区间. 分析：欲求函数的单调区间，贝ij须解不等式/?)?()(递增)及/%x)vO(递减)。 解：f(x) = — (x 0). 27 x x + q 当 a0, x0 时 f,(x)0=x2+(2a-4)x+a20, 厂(x) V Oox2+(2a—4)x+ a20. 当a 1时，对所有x 0,有 x2+(2a-4)x+a20, 即f(x)0,此时fi(x)在(0, +8)内单调递增. 当a=1时，对有 x2+(2a—4)x+a20, 即厂(x)0,此时 心)在(0, 4)内单调递增,在(1, +8)内单调递增. 又知函数Ax)在x=1处连续，因此，函数fi[x)在(0, +8)内单调递增. 当 0VaV1 时,令厂(x)0,即 x2+(2a—4)x+a20, 解得 x 2 — 6? — 2 Jl — a ,或兀 2 — a + 2 J1 — a . 因此，函数fi［x)在区间(0,2-^7-271^)内单调递增，在区间(2 —Q + 2JT二z , + oo)内也单调递 增. 令 厂(x)V0,即 x2+(2a-4)x+a2 0, 解得:2 - a - 2 J1 - a x 2 — + 2J1 - a . 因此，函数