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PAGE 1
牙膏销售量的研究
摘要
本文从收集有关牙膏销售量数据开始，从牙膏销售量和价格、广告投入之间的关系出发，分别通过对这三个方面的深入研究从而制定出各自的最佳方案，最后再综合考虑这三个主要因素，进一步深入并细化，从而求得最优解。
模块Ⅰ中，我们假设在和对y的影响独立 ，从而得到了方程：
在模块Ⅱ中，我们假设和对y的影响有交互作用，进一步得到新的方程：
【关键字】线性回归模型 相关系数
问题提出
由于客观事物内部规律的复杂及人们认识程度的限制,无法分析实际对象内在的因果关系，建立合乎机理规律的数学模型。通过对数据的统计分析，找出与数据拟合最好的模型，回归模型是用统计分析方法建立的最常用的一类模型。建立牙膏销售量与价格、广告投入之间的模型，预测在不同价格和广告费用下的牙膏销售量
问题分析
某大型牙膏制造企业为了更好地拓展产品市场，有效地管理库存，公司董事会要求销售部门根据市场调查，找出公司生产的牙膏销售量与销售价格、广告投入等之间的关系，从而预测出在不同价格和广告费用下的销售量。为此，销售部的研究人员收集了过去30个销售周期（每个销售周期为4周）公司生产的牙膏的销售量、销售价格、投入的广告费用，以及同期其它厂家生产的同类牙膏的市场平均销售价格，见表1-1（其中价格差指其它厂家平均价格与公司销售价格之差）。试根据这些数据建立一个数学模型，分析牙膏销售量与其它因素的关系，为制订价格策略和广告投入策略提供数量依据。
表1-1 牙膏销售量与销售价格、广告费用等数据
销售
周期
公司销售价格
(元)
其他厂家平均价格(元)
价格差
(元)
广告费用
(百万元)
销售量
(百万支)
1
3.85
3.80
-0.05
5.5
7.38
2
3.75
4.00
0.25
6.75
8.51
3
3.70
4.30
0.60
7.25
9.52
4
3.60
3.70
0.00
5.50
7.50
5
3.60
3.85
0.25
7.00
9.33
6
3.6
3.80
0.20
6.50
8.28
7
3.6
3.75
0.15
6.75
8.75
8
3.8
3.85
0.05
5.25
7.87
9
3.8
3.65
-0.15
5.25
7.10
10
3.85
4.00
0.15
6.00
8.00
11
3.90
4.10
0.20
6.50
7.89
12
3.90
4.00
0.10
6.25
8.15
13
3.70
4.10
0.40
7.00
9.10
14
3.75
4.20
0.45
6.90
8.86
15
3.75
4.10
0.35
6.80
8.90
16
3.80
4.10
0.30
6.80
8.87
17
3.70
4.20
0.50
7.10
9.26
18
3.80
4.30
0.50
7.00
9.00
19
3.70
4.10
0.40
6.80
8.75
20
3.80
3.75
-0.05
6.50
7.95
21
3.80
3.75
-0.05
6.25
7.65
22
3.75
3.65
-0.10
6.00
7.27
23
3.70
3.90
0.20
6.50
8.00
24
3.55
3.65
0.10
7.00
8.50
25
3.60
4.10
0.50
6.80
8.75
26
3.70
4.25
0.60
6.80
9.21
27
3.75
3.65
-0.05
6.50
8.27
28
3.75
3.75
0.00
5.75
7.67
29
3.80
3.85
0.05
5.80
7.93
30
3.70
4.25
0.55
6.80
9.26
MATLAB作图得到2.1如下所示（相关程序代码见附录1）；
图2.1 牙膏销售量与销售价格、广告费用的关系图
模型假设
假设收集的数据均真实有效。
定义与符号说明
y ~公司牙膏销售量
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