首届两岸四地华罗庚金杯少年数学精英邀请赛决赛试题笔试及答案.doc

PAGE PAGE 1 首届两岸四地华罗庚金杯少年数学精英邀请赛 决赛试题笔试（二）及答案 一、填空题（每题12分，满分60分） 题 号 1 2 3 4 5 答 案 1729 40.8 62 385 29 1. 如下数表由从1开始的连续自然数写成，并且每行最右边的一个数都是平方数： 则表中第10行所写出的各数的和等于 . 解：第10行是从82 ~ 100共19个自然数之和: 82 + 83 + 84 + …… + 99 + 100 = . 注：计算82 + 83 + 84 + …… + 99 + 100的方法很多，比如： 82 + 83 + 84 + …… + 99 + 100 或 82 + 83 + 84 + …… + 99 + 100 2. 图1中，长方形ABCD的长BC = 10厘米，宽AB = 6厘米. 在BC上取点M，在AD上取点N，使得四边形BMDN是一个菱形. 则菱形BMDN的面积是 平方厘米. （图1）解：因为BMDN是一个菱形，可设 （图1） ， 则. 在直角三角形ABN中，由勾股定理得 ，即，解得. 菱形BMDN的面积 = 6.8×6 = 40.8（平方厘米）. 3．100名少年运动员胸前的号码分别是1，2，3，……，99，100. 选出其中的k名运动员，使得他们的号码数之和等于2008. 那么k的最大值是 . 解：显然，选号码越小的，可以使选出的人数越多. 因此，考虑先选前n名运动员，他们的号码是1~n的连续自然数，并且号码数之和不超过2008. 由于 ， 得. 故 n是二位数，其十位数字是6. 从小到大，逐一试算，得到，即选出的运动员不可能多于62人. 又因为 ，可以选如下号码的运动员： 1，2，3，…，7，9，…，62，63，这些号码数的和是（1953－8＋63）＝2008，所以，k的最大值是62. 4. 自然数b与175的最大公约数记为. 如果 ， 则b = . 解：由于，d必为175的约数，而175=5×5×7，所以d只能取1，5，7，25，35，175中的某一个. 另外由 可知 为非0自然数， 即，因此 所以d =35或175. （图2）将d =35代入，得b = 385. 将d =175代入，得 ，即，左边是偶数，右边是奇数，矛盾！所以d =175不合要求. 所以b = 385. （图2） 5. 华罗庚爷爷说：数学是我国人民所擅长的学科. 请小朋友求解《九章算术》中的一个古代问题： “今有木长二丈，围之三尺，葛生其下，缠木七周，上与木齐.问葛长几何？” （图2-1）白话译文：如图2，有圆柱形木棍直立地面，高20尺，圆柱底面周长3尺. 葛藤生于圆柱底部A点，等距缠绕圆柱七周恰好长到圆柱上底面的B点. 则葛藤的长度是 ________ 尺. （图2-1） 解：设想从A点将葛藤剪断，顶点处B不动，将缠绕的葛藤解开拉直，如图2-1所示：A点变为地面上的C点. 则葛藤长为的斜边BC. 由AB =20，AC=21和勾股定理得： = 841=. 所以BC =29（尺）. 答：葛长29尺. 二、解答下列各题，要求写出简要过程（每小题15分，满分45分） （图3）6. 如图3，摆放2×2的“4宫格”要用12根火柴棍； 摆放3×3的“9宫格”要用24根火柴棍. 小明用1300根火柴棍，恰好摆放成一个m×m的“m2宫格”，问m=? （图3） 解：在“m2宫格”中，横向的火柴棍有行，每行有m根，共有根. 同样，纵向的火柴棍有列，每列有m根，也共有根. 所以，摆放“m2宫格”共用了2m(m+1)根火柴. ……（10分） 由， 得到，因此 ……（15分） （图4）7. 图4中，M是AB 的中点， N是BC上一点，CN = 2BN. 连接AN交MC于O点. 若四边形BMON的面积为14平方厘米， 求： （1）CO︰OM=？（2）三角形的面积 = ？ （图4） 解： 8. 在1 ~ 30m（其中m是非零自然数）这些自然数中， （1）能被2整除的合数共有多少个？能被3整除的合数共有多少个？ （2）请说明：在1 ~ 30m这些自然数中，质数的个数不超过10m . 解：（1）在1 ~ 30m（其中m是非零自然数）这些自然数中，被2整除的数有15m个，由于2是质数，所以偶合数共有15m – 1个； ……（3分） 被3整除的数有10m个，由于3是质数，其中的合数有10m – 1个.……（6分） （2）由（1）的结果可知：在1 ~ 3