高中数学二元函数最值问题求解方法浅析.doc

高中数学二元函数最值问题求解方法浅析 我们把形如z二f (x, y)的函数称为二元函数。其 最值问题是高中数学的一大难点，近年来高考试题中屡有考 察。求解二元函数的最值，涉及到函数、不等式、线性规划、 解析几何等诸多高中数学重点知识，更体现了函数思想、化 归转化思想、数形结合思想和分类讨论思想等若干核心数学 思想的应用。学好二元函数问题最值的求解，是函数部分的 一大重点。 求解二元函数最值，核心思想是化二元为一元一一将复 杂问题化归为简单模型是数学解题的关键，也是本质。通过 消元或换元，将一个二元问题简化为一元函数问题，依托于 研究学生所熟识的一元函数达到求解二元函数最值的目的。 下文所叙述的消元法和换元法都是这一思想的具体运用。 同时，求解二元函数最值问题时，联系题目中条件与最 值问题所对应的几何意义一一利用数形结合的思想，将二元 函数问题化归为二维平面内的图形变换关系，通过观察图形 的几何意义来解决问题，是此类问题其求解的又一法宝。 此外，结合已知条件，利用重要不等式来解决问题是我 们可以借助的又一重要工具。均值不等式法就体现了这一思 下面通过几个具体的例子，着重通过一题多解的模式来 分析二元最值求解的基本方法。 配方法 利用多项式的配方法和实数的性质以及不等式的性质 来分析新式子的结构，进而研究确定二元函数的最大值或 最小值，这也是求极值的一种很简便的方法。 例 1：求二元函数 Z=x4+y4+2 x2y2-4x2-3y2+2y+15 的最 小值。 分析：原式配方得：Z= (x2+y2~2) 2+ (y+1) 2+10, 当且仅当 x2+y2-2=0 且 y+l=0 ,即 x= ±1, y=-l 时，Z 的 最小值是10 例 2：已知 XWR , y WR,求 u=x2+xy+y2-x-2y+5 的最 值。 分析：原式配方可得u= (x+y-12) 2+34 (y-1) 2+4, 当且仅当x+y-12=0及y-l=0时即x=0, y=l时取最小值4 消元法 消元法是求解二元函数最值问题的最基本方法。同时， 在求解此类问题时，设法消元也是核心的思路。而此类二元 函数一般都有一个关于两个自变量之间的等量关系 例3、已知x, yWR+且xy-2,求y (x2+l)的最小值。 分析：已知条件给出了两变量的关系，故而可以用x表 示y,将二元问题划归为一元问题。 解：由 xy=2 得 y2x,所以 Z二 y (x2+l) = y2x (x2+l) 二2x+2x, 又x WR+,所以2x+2x$4 o当且仅当x二1时取等号。 （亦可利用对勾”函数理解） 例4、从圆（x+1） 2+ （y-2） 2-2夕|—点P向圆引切线 PM,M为切点，0为坐标原点，且有令PM?二?P0?，求 ?PM令 的最小值。 分析：设点P （a, b）后，利用?PM?二?P0?找到a, b的关系，求?PM?的最小值问题转化为求?P0?的最小 值。 解：设点P的坐标为（a, b）,如图 由已知 ?P0?2-?0 M?2二?PM?2二?P0?2,得 2a-4b+3=0 , 所 以 b=2a+34 , ?PM ?二? P0 ?二a2+b2=20a2+12a+916 三 3510, 即?PM?的最小值为3510 o 由以上两例可以看出，利用已知关系，将未知的二元问 题化归为已知的一元模型一一由未知到已知的转化模式是 学习数学的一个重要思想。 换元法 通常就是将两个变量看成一个整体，或者是应用三角代 换的方法将其转化为一次函数，然后应用一次函数的最值求 解方法求解。 例 5、实数 x, y 满足 x2-2xy+y2-3x-3y+12=0,求 u=xy 的最小值。 分析：求u二xy的最值，从条件很容易把xy表示为x+y 的关系，视x+y=t可转化为t的函数而求解。 解:由得条件(X-y)2+12二3(x+y)212,可设 t二 x+y$43 (当且仅当x二y时取等号)又由条件可得u=xy二14[ (x+y) -3 (x+y) +12]=14[t2-3t+12]=14[ (t~3) 2) 2+454]212 从而可求得umax二12 例6、若动点P (x, y) 在曲线x24+y2b2=l (b0)上 变化，求x2+2y的最大值。 解：因为 P (x, y) 在 x24+y2b2=l (b0)上，所以 x=2cos 0 y=bsin 0 , 故而 z=x2+2y=4 cos2 0 +2bsin 0 二-4 (sin0-b4) 2+b24+4， 当OO,aHl)的图像恒过定点A,若点A在直线mx+ny+l=O 上，其中mn0 ,求lm+ 2n的最小值。 解：因为函数y=loga (x+3) -1 (a0, aHl)的图像恒 过(-2, -1)点。 又点A在直线mx+ny+1二0