随机过程的基本概念.doc

第十章 随机过程的基本概念 1、利用重复抛掷硬币的试验定义一个随机过程 出现正面与反面的概率相等。求：的一维分布函数和，的二维分布函数。 解： 以随机变量Y记抛掷硬币的试验结果，则 且 （1）、当时，若，则；若，则。于是 类似可得 （2）、当时，若，则；若，则。于是 2、设随机过程是。随机变量，概率分布列为 A 1 2 3 p 1/3 1/3 1/3 求；（1）、一维分布函数和； （2）、二维分布函数。 解：（1）因为，可取值为 , ,（将A代入即得），而 , , . 所以 因为 .只能取0值,故 (2)、因为，由 所以 3、设随机过程，其中与是相互独立的随机变量，均服从标准正态分布。求的一维和二维分布。 解： 因为对任意固定的是正态随机变量，故 所以，服从正态分布，从而也是随机过程的一维分布。 其次，对任意固定的，则依维正态随机向量的性质，服从二维正态分布，且 所以，二维分布是数学期望向量为（0，0），协方差矩阵为的二维正态分布。 4、设随机过程，其中为常数，是服从标准正态分布的随机变量。求的一维分布函数和协方差函数。 解： 故的一维分布函数为。 协方差函数是随机过程在任意两个时刻和的状态和的二阶中心混合矩 其中 故 其中 5、已知随机过程的均值函数和协方差函数是普通函数。求随机过程的均值函数和协方差函数。 解 因为是普通函数，有，故 6、设有随机过程和任一实数，定义随机过程 证明：和分别是的一维和二维分布函数。 解： 设的一维和二维概率密度分别为和，则 若考虑到对任意的是离散型随机变量，则有 7、随机相位正弦波其中是正常数。是在内均匀分布的随机变量。求的概率密度函数、均值函数、方差函数和相关函数。 解： 因为的概率密度函数为 所以：1）、依特征函数的定义，有： （1）故 由积分的性质，若是周期为的周期函数，则 故 （2） 比较（1）和（2）式得，的概率密度函数为 2）、由定义，得 3）、令 ，则 ，得 8、设有两个随机过程与，其中为常数，为上均匀分布的随机变量。求。 解： 设 ，则 9、设，其中相互独立，是服从正态分布的随机变量，是常数，证明：是二阶矩过程。 证： 因为 所以二阶矩存在，是二阶矩过程。 10、设是以为参数的维纳过程，求下列过程的协方差函数： （1）、（为常数）； （2）、且与相互独立； （3）、常数。 解：（1）、令则 而当时， （2）、令则 而当时， （3）、令则 而当时， 11、通过某十字路口的车流是一泊松过程。设1min内没有出辆通过的概率为0.2，求2min内有多于一辆通过的概率。 解： 以表示内通过的车辆数，设是泊松过程，则 ， 故 。