2010年全国高中数学联赛试题参考标准答案.docVIP

2010年全国高中数学联合竞赛一试试题（A卷） 考试时间：2010年10月17日 8：00—9：20 一、填空题（本题满分64分，每小题8分） 1.函数的值域是______________. 2.已知函数的最小值为，则实数的取值范围是_____________. 3.双曲线的右半支与直线围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐标均为整数的点）的个数是___________. 4.已知是公差不为0的等差数列，是等比数列，其中，且存在常数使得对每一个正整数都有，则____________. 5. 函数在区间上的最大值为8，则它在这个区间上的最小值是___________________. 6. 两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜，否则轮由另一人投掷.先投掷人的获胜概率为_________________. 7.正三棱柱的9条棱长都相等，是的中点，二面角,则_____________. 8.方程 满足的正整数解的个数是_____________. 二、解答题（本题满分56分） 9.(本小题满分16分)已知函数，当时，，试求的最大值. 10. (本小题满分20分)已知抛物线上的两个动点和,其中且.线段的垂直平分线与轴交于点,求△面积的最大值. 11. (本小题满分20分)证明：方程恰有一个实根，且存在唯一的严格递增正整数列，使得. 2010年全国高中数学联合竞赛加试试题（A卷） 考试时间：2010年10月17日 9：40—12：10 一、（本题满分40分） 如图，锐角三角形的外心为，是边上一点（不是边的中点），是线段延长线上一点，直线与交于点，直线与交于点.求证：若,则四点共圆. 二、（本题满分40分） 设是给定的正整数，.记,.证明：存在正整数,使得为一个整数.这里，表示不小于实数的最小整数，例如. 三、（本题满分50分） 给定整数,设正实数满足,,记 求证：. 四、（本题满分50分） 一种密码锁的密码设置是在正边形的每个顶点处赋值0和1两个数中的一个，同时在每个顶点处涂染红、蓝两种颜色之一，使得任意相邻的两个顶点的数字或颜色中至少有一个相同.问：这种密码锁共有多少种不同的密码设置. 2010年全国高中数学联合竞赛 一试试题参考答案与评分标准 说明： 1.评阅试卷时，请依据本评分标准。填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次。 2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不要增加其他中间档次。 一、填空题 1.. 2. 3.. 4.. 5.. 6.. 7.. 8.. 1. 易知上是增函数，从而可知的值域为[-3,]. 2. 令sinx=t，则原函数化为g(t)=(-at 2+a-3)t，即 g(t)=-at 3+(a-3)t. 由-at 3+(a-3)t-3， -at(t 2-1)-3(t-1)0， (t-1)(-at(t +1)-3)及知 -at(t +1)-3即. （1） 当t=0，-1时（1）总成立： 对； 对. 从而可知 3. 由对称性知，只需先考虑x轴上方的情况，设与双曲线右半支交于点，与直线交于点，则线段内部的整点个数为，从而在轴上方区域内部整点的个数为 又x轴上有98个整点， 则所求整点个数为. 4. 设则 3+d=q， （1） 3（3+4d）=q2，（2） （1）代入（2）得 从而有对一切正整数n都成立， 即对一切正整数n都成立。 从而， 求得. 5. 令，则原函数化为上是递增的， 当0a1时，[]， ， 所以； 当[]， ， 所以， 综上[-1,1]上的最小值为. 6. 同时投掷两颗骰子点数和大于6的概率为，从而先投掷人的获胜概率为 =. =. 7. 解一：如图，以AB所在直线为x轴，线段AB中点O为原点，OC所在直线为y轴，建立空间直角坐标系。设正三棱柱的棱长为2，则B（1，0，0），B1（1，0，2），A1（-1，0，2），P（0，，1），从而， . 设分别与平面BA1P、平面B1A1P垂直的向量是，则 由此可设 所以 即. 所以. 解二：如图 设交与点0，则 ， 因为， 从而.