一堂立体几何探究课的教学实录与反思.doc

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PAGE PAGE 11 一堂立体几何探究课的教学实录与反思 培英高中 吴燕荀 内容摘要:本文从说出正方体中开放性结论入手,通过类比联想,将正方体、正四面体、正八面体、球有机地融合在一起.同时,由平面到空间、由静到动,寻找以长方体为载体的几何体中变与不变的量,并得出一个一般性的结论.这节探究课有效地揭发了学生的学习热情,对提高学生探究能力和创新能力作了一次有益的尝试,取得较得的教学效果. 关键词:立体几何探究 实录 反思 本文是笔者在一次立体几何探究课上的实录.先从一道开放题切入: 问题1 如图1,棱长为a的正方体A1B1C1D1-ABCD中,你能得到哪些结论? 生1:我想可以得到: ①正方体面对角线长为a; ②正方体体对角线长为a; ③正方体表面积为6a2 ④正方体体积为a3. 师:请问谁能给出点评? 生2:以上几条结论都正确!不过我想还可以得到: ⑤正方体外接球的表面积为3πa2,体积为πa3; ⑥正方体内切球的表面积为πa2,体积为πa3. …… 师:这是一道开放题,结论应该有很多,与正方体有关的问题倍受命题者青睐,也看得出来,在处理立体几何问题时,正方体的模型作用.更多精彩课后再探究! 这时有一位小女生打破沉默:我不明白正方体外接球与内切球的表面积与体积是怎么得来的? 师:哪位同学可以答疑? 生3:正方体外接球的直径等于正方体体对角线长,正方体内切球的直径等于正方体棱长. 师:清楚了吗? 小女生似乎还有点困惑. 师:如图2,正方形外接圆、内接圆与正方形边长有什么关系? 小女生:噢!明白了.类比…… 生4:正方体还有棱切球的表面积为2πa2,体积为πa3. 生5:正方体内接正四面体(以正方体不共面4个顶点为顶点的四面体)的表面积为2a2,体积为a3. 生6:正方体内接正八面体(以正方体的六个面的中心为顶点的八面体)的表面积为a2,体积为a3. 评注:在学生已有的认知结构和能力的基础上,设计一个看似极其简单的开放题,旨在体现低起点,让不同的学生得到不同层次的结论,鼓励低一级水平的学生向上一级思维挺进,并提倡让不同的学生给出不同的解决方案,帮助全体同学协调发展,共同进步! 正四面体正方体 正四面体 正方体 正八面体 球 图 3 下面我们探究正方体中的动态问题: 问题2 如图4,棱长为a的正方体A1B1C1D1-ABCD中,直线C1D1上的线段EF,且EF=a,当EF运动时,多面体EF-ABCD中哪些发生变化?哪些不变? 生7:当EF运动时,多面体EF-ABCD的形状发生变化,但总有: (1)EF∥平面ABCD; (2)EF与平面ABCD的距离为定值; (3)多面体EF-ABCD的体积为定值. (注:以下主要证明多面体EF-ABCD的体积为定值,下同) (3)简解:如图4,连结EB,EC,则多面体EF-ABCD被分割成一个四棱锥E-ABCD和一个三棱锥B-ECF, ∴多面体EF-ABCD的体积: V=(定值) . 师:能否作进一步的推广? 生8:如果题目条件作如下变化,上述结论仍然成立: (ⅰ)EF=b; (ⅱ)正方体A1B1C1D1-ABCD变换为长方 (ⅲ)正方体A1B1C1D1-ABCD中,EF在上底面A1B1C1D1内平行移动(保持与直线C1D (ⅲ)简解:如图5,直线EF分别交A1D1、B1C1于E1、F1,连结AE1、DE1、BF1、CF1 则多面体EF-ABCD的体积是三棱柱ADE1-BCF1的体积减去两个三棱锥E-ADE1,F-BCF1的体积. ∴多面体EF-ABCD的体积V==. 师:变化中找到了不变! 评注:引导学生积极参与,由静态到动态: 线段 线段EF在直 线C1D1上静止 线段EF在直 线C1D1上运动 线段EF在上底面A1B1C1D1 “在变化中发现不变”是为了鼓励更多同学提出精彩的猜想! 生9:受上述几位同学的启发,我想到一个问题: 问题3 如图6,棱长为a的正方体A1B1C1D1-ABCD中,直线B1D1上的线段EF,且EF=,则: (4)EF∥平面ABCD; (5)EF与平面ABCD的距离为定值; (6)多面体EF-ABCD的体积为定值. (6)简解:连结AC、BD相交于点O, 则多面体EF-ABCD是由两个四棱锥A-EFBD、C-EFBD拼接而成. 易证AC⊥平面BDD1B1, ∴多面体EF-ABCD的体积V=S梯形EFBD×AC=. 生10:我觉得生8的条件下,生9的结论也应该成立,即条件分别改为: (ⅳ) EF=b; (ⅴ) 正方体A1B1C1D1-ABCD (ⅵ) 正方体A1B1C1D1-ABCD中,EF在上底面A1B1C1D1内平行移动(保持与直线B1D 但我对于条件(ⅵ)下体积为定值的证明思路一时想不到. 师:有哪位同学能够证明或否定? 生11:下面给出证明:

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