容斥原理及公式的证明.pptVIP

五年级奥数之容斥原理及公示的证明 四年级奥数之容斥原理及公示的证明 四年级奥数之容斥原理及公示的证明 * Nab Nb Nabc Nca Nbc Nc A B C Na 容斥问题 某班50名学生前往上海世博会参观丹麦、法国、西班牙三个场馆。参观丹麦、法国、西班牙场馆的人数分别是28、24、18人，其中既参观丹麦馆又参观法国馆的10人，既参观丹麦馆又参观西班牙馆的8人，既参观法国馆又参观西班牙馆的5人。 已知全班每名学生都至少参观了三个场馆中的一个，那么，三个场馆都参观的学生有多少人？ 容斥原理是国家公务员考试的一个难点，很多考生都觉得无从下手，其实，容斥原理关键内容就是两个公式，只要把这两个公式灵活掌握就可全面应对此类题型。 1、两个集合的容斥关系公式：|A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|，或：N=Na+Nb-Nab。 2、三个集合的容斥关系公式：|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|B∩C|-|C∩A|+|A∩B∩C| ， 或：N=Na+Nb+Nc-Nab-Nbc-Nca+Nabc。 定理： |A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|B∩C|-|C∩A|+|A∩B∩C| 或：N=(Na+Nb+Nc)-(Nab+Nbc+Nca)+Nabc 证明：设Na、Nb、Nc分别表示图A、B、C覆盖的面积；Nab、Nbc、Nca分别表示图A和B、B和C、C和A共同覆盖的面积；Nabc表示图A、B、C共同覆盖的面积。再设N1、N2、N3、N4、N5、N6、N7分别表示7个互不覆盖区域的面积；N表示7个互不覆盖区域的面积总和。 则：N1=Na-Nab-Nca+Nabc， N2=Nb-Nab-Nbc+Nabc， N3=Nc-Nbc-Nca+Nabc N4=Nab-Nabc N5=Nbc-Nabc N6=Nca-Nabc N7=Nabc N=(N1+N2+N3)+(N4+N5+N6)+N7 =(Na+Nb+Nc-2Nab-2Nbc-2Nca+3Nabc)+(Nab +Nbc+Nca-3Nabc)+Nabc =Na+Nb+Nc-Nab-Nbc-Nca+Nabc Nab Nb Nabc Nca Nbc Nc A B C Na N1 N4 N2 N7 N3 N5 N6 Nab=10人 Nb=24人 Nabc Nca=5人 Nbc=8人 Nc=18人 丹麦馆 法国馆 西班牙馆 Na=28人 题目：某班50名学生前往上海世博会参观丹麦、法国、西班牙三个场馆。参观丹麦、法国、西班牙场馆的人数分别是28、24、18人，其中既参观丹麦馆又参观法国馆的10人，既参观丹麦馆又参观西班牙馆的8人，既参观法国馆又参观西班牙馆的5人。 已知全班每名学生都至少参观了三个场馆中的一个，那么，三个场馆都参观的学生有多少人？ 解：参观了丹麦馆或法国馆或西班牙馆的人数为50人（即班级人数50人，N=50人） 28+24+18=70人， 10+8+5=23人， 70-23=47人， 50-47=3人（即Nabc=3） 如果直接套用左边的公式，就是： Nabc=N-(Na+Nb+Nc)+(Nab+Nbc+Nca) =50-(28+24+18)+(10+8+5) =3(人) 答：三个场馆都参观的有3人。 定理： |A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|B∩C|-|C∩A|+|A∩B∩C| 或：N=(Na+Nb+Nc)-(Nab+Nbc+Nca)+Nabc