专题七距离空间的可分性和完备性投.ppt

专题七距离空间的可分性和完备性投 已知：在实直线上， 存在一个处处稠密的可数子集Q, 且成立完备性定理（即柯西收敛原理)。 问题：在一般的距离空间中，是否存在一个处处稠密 的可数子集？完备性定理是否总成立？ 一、距离空间的可分性 1.距离空间中的稠密子集 定义1（稠密性) 设X是距离空间，A?X，B?X. (1) B在A中稠密, 若对于?x?A, ?{xn}?B, 使xn?x (n??) (2) B在X中处处稠密(或B是X的一个稠密子集), 若对于 ?x?X, ?{xn}?B, 使xn?x (n??). 注: 1)B在A中稠密? ?x?A,??0, S(x,?)内含有B中的点 ? ?x?A, 有x?B或x?B’?A?B 2)B在X中稠密? ?x?X,??0, S(x,?)内含有B中的点 ? ?x?X, 有x?B或x?B’ ?X?B ?B=X 例1 有理数集在R中处处稠密 例2 Rn中的有理点集在Rn中稠密可数 例3 多项式集合P在C[ a,b]?LP[a,b]中处处稠密 (魏尔斯特拉斯一致逼近定理:?x(t)?C[a,b,?{pn(t)}?P,使pn(t)?x(t)(n??), 即pn(t)按C[a,b]中的距离收敛于x(t). 例4 [a,b]上的有界可测函数集合B[a,b]在Lp[a,b](p?1)中处处稠密. 证: ?x(t)?Lp[a,b], 做函数列 ?xn(t) (n=1,2,…)是[a,b]上的有界可测函数, 且有 x(t)?Lp[a,b]? ?x(t)?p?L1[a,b] ???0, ??0, 使当E0?E=[a,b],m(E0)?时, 有 ??N,当nN时, m(E(?x?n))? ?xn?x(n??)?B[a,b]在Lp[a,b]中稠密 (L积分的绝对连续性) 例5 [a,b]上的连续函数集合C[a,b]按Lp[a,b]中的距离在Lp[a,b]中处处稠密. 证: 由上例知B[a,b]在Lp[a,b]中稠密,只要证明按Lp[a,b]中的距离C[a,b]在B[a,b]中稠密即可. ?x(t)?B[a,b], ?x(t)??K. ???0, ??=(?/2K)p, ?y(t)?C[a,b]使得 m(E(x(t)?y(t)))? (由鲁金定理) 不妨设?y(t)??K, E0=E(x(t)?y(t)) ??(x,y)??C[a,b]在B[a,b]?Lp[a,b]中稠密 2.距离空间的可分性 定义2 (可分距离空间) 设X是距离空间. X是可分距离空间, 若X中存在一个处处稠密且可数的子集. 注: 1)A?X是可分集?存在稠密点列{xn}?A 2) X不可分?X中没有任何处处稠密的可数子集。 X是可分距离空间?存在稠密点列{xn}?X 例1 R是可分的。(有理数集在R中处处稠密、可数) 例3 多项式集合P是可分的。（有理系数多项式集合P0在多项式集合P中可数稠密） 例2 Rn是可分的 。( Rn中的有理点集在Rn中稠密可数) 例4 C[a,b] 是可分的。 （多项式集合P在C[ a,b]中处处稠密, 因而有理系数多项式集合P0在P?C[ a,b]中处处稠密可数） 证：1) 设x(t)?C[a,b], 由魏尔斯特拉斯一致逼近定理, ??0, ?p(t)?P?C[a,b],使?(x,p)=max|x(t)-p(t)|?/2 ?多项式集合P在C[ a,b]上稠密; 有理系数多项式集合P0在多项式集合P中稠密 ???0, ?p0(t)?P0?P, 使?(p,p0)=max|p(t)-p0(t)|?/2 ???, ?p0(t)?P0?P?C[a,b], 使 ?(x,p0)=max|x(t)-p0(t)| ?max|x(t)-p(t)|+max|p(t)-p0(t)| ? ?p0(t)?S(x,?)?P0按C[a,b]中距离在C[a,b]中稠密; 而P0?C[a,b]是可数集，因而C[a,b] 可分的。 ?p0(t)?S(x,?)?P0 按Lp[a,b]中距离在Lp[a,b]中稠密; 而P0是可数集，因而Lp[a,b] 可分的。 证 设x(t)?C[a,b], 由上例有??0, ?有理系数多项式 p0(t)