无穷级数习题精讲.doc

PAGE PAGE 10 第四章 无穷级数 §4.1 常数项级数 常数项级数的概念、性质与收敛原理 1．级数的有关概念 级数 ，无穷级数 ; 通项 ( 一般项 , 第项 ), 前项部分和等概念 ( 与中学的有关概念联系 ). 级数常简记为 . 级数的敛散性与和的定义 介绍从有限和入手, 引出无限和的极限思想 . 以在中学学过的无穷等比级数为蓝本 , 定义敛散性、级数的和、余和以及求和等概念 . 例1 讨论几何级数 的敛散性. 解 时, . 级数收敛 ; 时, 级数发散 ; 时, , , 级数发散 ; 时, , , 级数发散 . 综上, 几何级数 当且仅当 时收敛, 且和为 ( 注意从0开始 ). 例2 讨论级数 的敛散性. 解 用链锁消去法求, 讨论级数的敛散性. 解 设 , , = , . , . 因此, 该级数收敛. 例4 讨论级数的敛散性. 解 , . 级数发散. 级数与数列的关系 : 对应部分和数列{}, 收敛 {}收敛; 对每个数列{}, 对应级数 , 对该级数, 有=. 于是,数列{}收敛 级数 收敛. 可见 , 级数与数列是同一问题的两种不同形式 . 4. 级数与无穷积分的关系 : , 其中 . 无穷积分可化为级数 ; 对每个级数, 定义函数 , 易见有 =. 即级数可化为无穷积分. 综上所述 , 级数和无穷积分可以互化 , 它们有平行的理论和结果 . 可以用其中的一个研究另一个 . 二． 收敛级数的基本性质（ 均给出证明 ） 性质1 收敛， — Const 收敛且有= ( 收敛级数满足分配律 ) 性质2 和收敛 ， 收敛, 且有 =. 问题 : 、、三者之间敛散性的关系. 性质3 若级数收敛 , 则任意加括号后所得级数也收敛 , 且和不变 . ( 收敛数列满足结合律 ) 例8 考查级数 从开头每两项加括号后所得级数的敛散性 . 该例的结果说明什么问题 ? 三、级数收敛的充要条件 —— Cauchy准则 把部分和数列{}收敛的Cauchy准则翻译成级数的语言 ， 就得到级数收敛的Cauchy准则 . Th ( Cauchy准则 ) 收敛 和 N, . 由该定理可见, 去掉或添加上或改变 ( 包括交换次序 ) 级数的有限项 , 不会影响级数的敛散性 . 但在收敛时 , 级数的和将改变 . 去掉前 项的级数表为或. 系 ( 级数收敛的必要条件 ) 收敛 . 例9 证明级数 收敛 . 证 显然满足收敛的必要条件 . 令 , 则当 时有 应用Cauchy准则时，应设法把式 ||不失真地放大成只含而不含的式子，令其小于，确定. 例6 判断级数的敛散性. ( 验证 .级数判敛时应首先验证是否满足收敛的必要条件 ) ( 但级数发散的例 ) 证明调和级数发散 . 证法一 ( 用Cauchy准则的否定进行验证 ) 证法二 证明{}发散. 利用Ch 2习题课例2 已证明的不等式 . 即得，. 四、正项级数的审敛准则 正项级数 : ↗; 任意加括号不影响敛散性. 基本定理 : Th 1 设 . 则级数收敛 . 且当发散时, 有 , . ( 证 ) 正项级数敛散性的记法 . 正项级数判敛的比较原则 : Th 2 设和是两个正项级数 , 且时有, 则 ⅰ , ; ⅱ =, = . ( ⅱ 是ⅰ的逆否命题 ) 考查级数的敛散性 . 解 有 例2 设. 判断级数的敛散性 . 系1 ( 比较原则的极限形式 ) 设和是两个正项级数且,则 ⅰ 时 , 和共敛散 ; ⅱ 时 , , ; ⅲ 时 , = , = . ( 证 ) 系2 设和是两个正项级数 , 若 =， 特别地 ，若 ～,， 则 =. 例3 判断下列级数的敛散性: ⑴ ; ( ～ ) ; ⑵