抛物线的简单几何性质教学提纲.ppt

抛物线的简单几何性质 定义：在平面内,与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫抛物线. 抛物线的定义及标准方程 y2=-2px (p0) x2=2py (p0) y2=2px (p0) 一、温故知新 即点(x,-y) 也在抛物线上, 故 抛物线y2 = 2px(p0)关于x轴对称. 则 (-y)2 = 2px 若点(x,y)在抛物线上, 即满足y2 = 2px， 定义：抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点。 即：抛物线y2 = 2px (p0)的顶点（0，0）.只有一个 注:这与椭圆有四个顶点,双曲线有两个顶点不同。 抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离之比，叫做抛物线的离心率。 由定义知， 抛物线y2 = 2px (p0)的离心率为e=1. 下面请大家得出其余三种标准方程抛物线的几何性质。 （二）归纳：抛物线的几何性质 y2 = 2px （p0） y2 = -2px （p0） x2 = 2py （p0） x2 = -2py （p0） x≥0 y∈R x≤0 y∈R y≥0 x∈R y ≤ 0 x∈R (0,0) x轴 y轴 1 特点： 1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无限延伸,但它没有渐近线; 2.抛物线只有一条对称轴,没有 对称中心; 3.抛物线只有一个顶点、 一个焦点、一条准线; 4.抛物线的离心率是确定的,为1; 思考：抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响. P越大,开口越开阔 y2=2px l A B 过焦点且垂直于对称轴的直线被抛物线截得的线段AB叫做抛物线的通径， 长度为2p P越大，开口越阔 补充（1）通径： （标准方程中2p的几何意义） 利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出反映抛物线基本特征的草图。 补充（1）通径： |PF|=x0+p/2 F P 通径的长度：2P P越大,开口越开阔 （2）焦半径： 连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径。 焦半径公式： （标准方程中2p的几何意义） 总结 抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但没有渐近线； 抛物线只有一条对称轴,没有对称中心; 抛物线的离心率是确定的，等于１； 抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线； 抛物线的通径为2P, 2p越大，抛物线的张口越大. 1、范围： 2、对称性： 3、顶点： 4、离心率： 5、通径： 解: 三、典例精析 坐标轴 当焦点在x(y)轴上,开口方向不定时,设为y2=2mx(m ≠0) (x2=2my (m≠0)),可避免讨论 练习： 1、已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线3x-4y-12=0上，那么抛物线通径长是 . 2、已知点A（-2，3）与抛物线 的焦点的距离是5，则P= 。 4 抛物线的焦点弦的特征 1、已知AB是抛物线y2＝2px的任意一条焦点弦，且A（x1，y1）、B（x2，y2） 1）求证：y1y2＝－P2，x1x2＝p2/4。 2）设θ为直线AB的倾斜角，求证：当θ＝90o时，取得︱AB︱的最小值2p。 3）若弦AB过焦点，求证：以AB为直径的圆与准线相切。 四、归纳总结 抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但没有渐近线； 抛物线只有一条对称轴,没有对称中心; 抛物线的离心率是确定的，等于１； 抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线； 抛物线的通径为2P, 2p越大，抛物线的张口越大. 1、范围： 2、对称性： 3、顶点： 4、离心率： 5、通径：