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对拉格朗日中值定理反问题的探讨 冯荟娜 (西安电子科技大学 数学与统计学院 陕西 西安 710126） 摘 要： 通过对拉格朗日中值定理反问题已有结论及其反例的研究，证明 在可导函数的拐点处反问题不成立. 关键词： 拉格朗日中值定理；可导；拐点；反问题 1 引言 对拉格朗日中值定理反问题的研究由来已久.G·波利亚在[1]中提出了拉格 朗日中值定理的反问题：设函 f (x)在区间(ab, )上可导，问对区间上的任一点 f (x )f (x ) ，能否找到两点 ， ， 使 2 1  .并以  x x1 2 (ab, ) x1   x2  f () ， x x 2 1 f (x)x3 在 上 0处为例，给出了否定回答. (1,1)  2 正文 2.1 f (x)在区间(ab, )上严格凸（包括下凸和上凸）的情形. 虞福德在[2]中指出，在函 f (x)可导且严格凸的情况下，拉格朗日中值定 理的反问题是成立的. 定理 若函 f (x)满足条件：（1）在区间(ab, )上可导；（2）在区间(ab, )上 x x x 为严格凸函 .则对区间(ab, )内每一点 必可找到两点 ， 1 2 (ab, )，x1   2 使得 f (x )f (x ) 2 1 f () （1） x x 2 1 证 不妨设f (x)为严格下凸的函 . 1 在区间 内任取一点 （ ）.由凸函数的性质，对区间 内任 (ab, )   ab, (ab, ) 意 （ ），有不等式 x x f (x)f ()f ()(x ) （2） _ _ _ _ (ab, ) x x x  x 在区间 内选取 ， ，1 2 1 2 . _ _ f (x )f (x )2 1  _ _ f () x x (ⅰ)若 ，则 ， 即为所求的 ， ，定理得证. x x