2向量组的线性相关性.ppt

* * §2 向量组的线性相关性 一、向量组 若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组. 例如一个m×n矩阵A有n个m维列向量 它们组成的向量组 α1,α2,…,αn称为矩阵A的列向量组. m×n矩阵A又有m个n维行向量 αiT=( ai1,ai2,…,ai n ), ( i=1,2,…m ) 它们组成的行向量组α1T,α2T,…,αmT 称为 矩阵A的行向量组. 反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个 矩阵.例如： m个n维列向量所组成的向量组α1,α2,…,αm构成一个n×m矩阵 A=( α1,α2,…,αm ) ; m个n维行向量所组成向量组β1T, β2T,…, βmT 构成一个m×n矩阵 我们前面学过的线性方程组又可以写成矩阵的形 式Ax = b,而且矩阵又可以写成向量组的形式，所以方 程组也可以写成向量的形式： x1α1 + x2α2 + … + xnαn = b , 由此可见，线性方程组与其增广矩阵B＝（A,b）的列向量组α1，α2，…，αm , b之间也有一一对应的关系. 二、线性组合 定义3 给定向量组A: α1,α2,…,αm ,对于任何一组实数k1, k2,…, km ,向量 k1α1 + k2α2 + … + kmαm 称为向量组A的一个线性组合, k1, k2, … , km称为这个线性组合的系数 . 线性表示 给定向量组A: α1,α2,…,αm和向量 b , 如果存在一组数 λ1 , λ2 , … , λm ,使 b = λ1α1 + λ2α2 + … + λmαm 则向量b是向量组A的线性组合，这时称向量b能由向量组A线性表示. 向量组b能由向量组A线性表示，也就是线性方程组 x1α1 + x2α2 + … + xmαm = b 有解由上章的定理3，即可得到 定理1 向量b能由向量组A线性表示的充分必 要条件是矩阵 A = ( α1 , α2 , … , αm ) 的秩等于矩阵 B =( α1 , α2 , … , αm , b )的秩. 三、等价向量组 定义4 设有两个向量组A: α1 , α2 , … , αm 及B: b1 , b2 ,…,bs ,若B组中的每个向量都能由向量组A线性表示，则称向量组B能由向量组A线性表示.若向量组A与向量组B能相互线性表示，则称这两个向量组等价. 把向量组A和B所构成的矩阵依次记作A = ( α1,α2,…,αm )和B=( b1 , b2 ,… , bs ) ,B组能由A组线性表示，即对B组的每个向量bj ( j = 1 , 2 , … , s ) 存在数k1j , k2j , … , kmj ,使 bj = k1j α1 + k2j α2 + … + kmj αm = ( α1, α2, …, αm ) 从而 ( b1 , b2 ,… , bs ) = ( α1 , α2 , … ,αm ) 这里，矩阵Km×s= ( kij )称为这一线性表示的系数矩阵. 由此可知，若 C m×n = Am×s Bs×n ,则矩阵C的列向量组能由A的列向量组线性表示，B为这一表示的系数矩阵： ( c1 ,c2 , … , cn ) = (α1 , α2 , … , αs ) 同时，C的行向量组能由B的行向量组线性表示，A为这一表示的系数矩阵： 综合上面的讨论，我们得出矩阵A经过初等行变换变成矩阵B,则B的每个行向量都是A的行向量的线性组合，即B 的行向量组能由A的行向量线性表示.由于初等变换可逆，则矩阵B亦可经初等行变换变为A，从而 A 的行向量组也能由B 的行向量组线性表示.于是A的行向量组与B的行向量组等价. 同理可知，若矩阵A经过初等列变换变成矩阵B，则A的列向量组与B的列向量组等价. 等价矩阵所对应的线性方程组是同解方程组. 四、向量组的线性相关性 定义5 给定向量组A: α1 , α2 , … , αm ,如果存在不全为零的数k1， k2 ，... ， km，使 k1α1 + k2α2 + … + kmαm = 0 则称向量组A是线性相关的，否则称它线性无关. 1）一个向量 α 线性相关的充分必要条件是 α＝0.