第二章多变量最优化.ppt

2.1五步法 1.提出问题 2.选择建模方法 3.推导模型的数学表达式 4.求解模型 5.回答问题 1.提出问题-变量 这里涉及的变量和问题１相同： s：19英寸彩电的售出数量（台）； t：21英寸彩电的售出数量（台）； p：19英寸彩电的售出价格（美元/台）； q：21英寸彩电的售出价格（美元/台）； C：生产彩电的成本（美元）； R：彩电销售的收入（美元）； P：彩电销售的利润（美元） 1.提出问题-常量 这里涉及的常量同问题１： 两种彩电的初始定价分别为：339美元和399美元； 每种彩电的生产成本分别为：195美元和225美元； 每种彩电每多销售一台，平均售价下降系数a=0.01美元（称为价格弹性系数）； 种彩电之间的销售相互影响系数分别为0.04美元和0.03美元； 固定成本400000美元。 1.提出问题-变量间相互关系确定 假设1：对每种类型的彩电，每多售出一台，平均销售价格会下降1美分。 假设２：对于每种类型的彩电，受到生产所需要的电路板的限制，其售出数量有限制 假设３：公司年内的生产能力有上限c=10000台，即； 假设４：据估计，每售出一台21英寸彩电，19英寸的彩电平均售价会下降0.3美分，而每售出一台19英寸的彩电，21英寸彩电的平均售价会下降0.4美分。 1.提出问题-变量间相互关系确定 因此，19英寸彩电的销售价格为： p=339-a×s-0.03×t，此处a=0.01 21英寸彩电的销售价格为： q=399-0.01×t-0.04×s 因此，总的销售收入为： R=p×s+q×t 生产成本为： C=400000+195×s+225×t 净利润为： P = R - C 2.选择建模方法 概述选定的建模方法 这个问题的模型为有约束的多变量最优化问题，我们利用拉格朗日乘子法来求解。 给定一个函数 及一组约束。我们这里假设这些约束可以用k个等式表示： 2.选择建模方法 我们的目标是在集合 上对 求最大值。一个定理保证了在极值点 ，一定有 这里 称为拉格朗日乘子。定理假设 是线性无关向量。为了求出f在集合S上的极大或极小值点，我们要一起求解关于变量 和 的n个拉格朗日乘子方程 2.选择建模方法 及k个约束方程： 这里我们还要检查那些不满足梯度向量 线性无关的异常点 3.推导模型的数学表达式 由上述分析与基本假设，原问题的数学模型如下： 其中a=0.01. 4.求解模型 求解方法----Lagrange乘子法 这是一个带有多个约束条件的多变量最优化问题，可以使用Lagrange乘子法求解。 第1步：确定目标函数y(x1,x2)的可行域S 目标函数y(x1,x2)的可行域S（见图2.10）为： 图2.10 目标函数的可行域图 4.求解模型 第2步：计算 在可行域S的内部， ，因此，最大值一定在边界上达到。 第3步：计算边界上的极大值 由于可行域由5条直线围成，因此需要分别计算y(x1,x2)在每一条边界线段上的极大值，下面分别计算，重点介绍如何计算y(x1,x2)在直线 上的最大值。 ? 4.求解模型 （1）y(x1,x2)在约束直线 上的极大值 此时，需要求解问题 其Lagrange乘子方程为 ，即 与约束方程 联立求解，得到 代入目标函数P(s,t)可得极大值为 4.求解模型 图2.7给出了可行域以及y(x1,x2)的水平集图像。水平集y(x1,x2)=C为一簇同心环，这些环与可行域相交，水平集y(x1,x2)=532308为最小的环。这个集合刚刚接触到可行域S，且与直线 在极值点相切。由图2.7还可以看出，利用Lagrange乘子法在约束直线上找到的临界点就是y(x1,x2)在整个可行域上的最大值。 图2 .11 可行域及水平集图 4.求解模型 （2）y(x1,x2)在其它约束直线上的极大值 采用与（1）类似的方法可以求出在剩余的其它约束直线上对P(s,t)的极大值点，结果如下： 直线段 ： 极大值点（5000，5000），极值为515000美元 直线段 ：极大值点（2000，8000），极值为