数学建模 漏斗中水流出的时间问题.doc

漏斗中水流出的时间问题 探究容器内水的流出时间与水流量的关系，有助于现实生活中人们利用时间来控制水库水流量，以达到有计划的放水供应城市用水。接下来我们就来探究一下漏斗中水流出的时间问题。 模型假设 水在漏斗底端小孔流出时，由于水属于非粘性液体，从流体力学的观点看，可忽略出水口对水的张力，故在出水口的水的运动可看作有初速度的自由下落。 设漏斗的顶部大圆半径为，底出口孔圆半径为，漏斗高，重力加速度为；在漏水过程中漏斗中轴线竖直并且静止。 模型建立 要求漏斗中的水流完所需要的时间，得先求出出水口的水流速度，在流出的瞬间，由于重力势能的作用，瞬时将重力势能转化为动能，假设漏斗底端离水平面高度为，当时间内水位下降了时，由动能定理得 所以水流出的初速度为 在水位下降时，此时漏斗的水平面圆半径为，则在这时间内，漏斗中水减少的体积为 ，其中 所以 又在出水口流出的体积为，因为 所以 式子左右同时除以得 当时，而，所以式子进一步得到 又 所以式子化为 令 所以 结果分析 所以式子两边同时积分 = 1 \* GB3 ①、当时，，此时做的是自由落体运动； = 2 \* GB3 ②、当时，，即是水永远流不出来。