浅谈固定点定理及其应用.pdf

淺談固定點定理及其應用 吳志揚 第一節 引言 變應萬變” 來應付危機。 在數學的理論及應 用中也常利用這個觀點 (或精神) 來了解一 這篇短文是根據作者在清華大學應用數 些複雜的現象。 首先我們先簡要地說明數學 學所通識課程的演講改寫而成的。 在生活中 是如何應用到各種不同領域, 這過程大概可 身處逆境或危機時, 我們常 自勉要能 ”以不 用下面的流程圖來描述。 I、 了解並描述實際問題 IV、 解釋數學解答, 在實 (包括各種工程、 社 際問題的意義及考慮 會科學、 經營、 管理 其合理性 , 並加以應 等等問題) 用 ↓ ↑ II、 模型化為數學問題 III、 解決該問題並得到解 (例如: 圖論、 方程、 答, 無法得到精確解 → 幾何、 代數及結構等 答時則考慮近似解。 等) 現在讓我們舉一個大家熟知的例子來說 和他的兒子急忙把雞和兔子一起趕進籠子避 明如何使用這個流形圖: 雨, 因為時間緊迫, 顧不得將他們分開, 所以 農夫和兒子分別計算頭數與腳數。 數得結果 雞兔同籠問題: 雲林縣鄉下有位農夫養 是共有 1010個頭和 2820隻腳, 那麼雞和兔子 有一群雞和兔子, 某 日突然下起西北雨, 農夫 各有幾隻呢? 相信大家小學時就會處理這個 46 淺談固定點定理及其應用 47 問題了, 現在我們試著用流程圖中的各步驟 (A3) 農夫與兒子都沒算錯。 來解答這個問題。 要不然, 問題就大了。 現在我們可以把這問題 數學化了。 I. 了解實際問題: 假設農夫有 x 隻雞和 y 隻兔子, 那麼我 們根據 (A1), (A2) 和 (A3) 得到一個聯立 在此例子中, 我們關心的是雞與兔子的 方程 :  個數, 與問題有關的因素是腳數及頭數, 至於 尾巴有多少就不是我們所關心的了。 我們知  x + y = 1010 (1)  2x + 4y = 2820 (2) 道正