数学分析中积分中值定理的应用探讨毕业论文（可编辑）.doc

数学分析中积分中值定理的应用探讨毕业论文 本科生毕业设计(论文)数学分析中积分中值定理的应用探讨二级学院 : 数学与计算科学学院专 业 : 数学与应用数学年 级 : 学 号 : 作者姓名 : 指导教师 : 完成日期 : 目录 1引言 1 1.1 本文背景 1 1.2 本文主要内容及其意义 1 1.3 一些引理 1 2 积分中值定理的应用 3 2.1 积分第一中值定理的应用 3 2.2 推广的积分第一中值定理的应用 5 2.3 积分第二中值定理的应用 6 2.4 推广的积分第二中值定理的应用 7 2.5 二重积分中值定理的应用 9 2.6 推广的二重积分中值定理的应用 10 3 结语 11 参考文献 11 数学分析中积分中值定理的应用探讨 摘 要:本文主要讨论积分中值定理的应用,它主要包含定积分第一中值定理、定积分第二中值定理与二重积分中值定理等六个方面的应用,从而丰富了数学分析中相关的内容. 关键词:积分中值定理; 推广; 应用 On Discussion of the Applications for the Mean Value Theorem in Mathematical Analysis Abstract:In this paper, we mainly discuss the applications of mean-value theorems , which mainly contains six aspects of the applications such as the first mean-value theorem, the second integral mean-value theorem and the double integrals mean-value theorem and so on. Hence they enrich the related contents in mathematical analysis. Key words: integral mean-value theorem; generalization ; application. 1 引言 1.1 本文背景 随着时代的发展,数学分析的内容也在更新.积分中值定理作为微积分中的一个重要性质出现在数学分析课程中,它在数学分析的学习过程占有很重要的地位.积分中值定理在微积分学中有非常广泛的应用,已有相关文献对此定理的推广形式作了研究.在此我们就把积分中值定理、推广及其应用进行归纳总结.相关内容参见文献[1-9]. 1.2 本文主要内容及其意义 本文研究的主要内容是研究、分析和总结了积分中值定理及其推广,最后探讨了积分中值定理在各方面的应用问题,如估计积分值,确定数列极限等等,使我们对它有了更深一层的理解,从而丰富了数学分析中相关的内容. 1.3 一些引理 引理(积分第一中值定理)若在区间上连续,则在上至少存在一点使得 引理(积分第二中值定理)如果函数在闭区间上可积 (1)若在区间上单调递增且 ,那么存在,使下式成立 . (2)若在区间上单调递减且,那么存在,使下式成立 . 引理(二重积分中值定理)若在可求面积的有界闭区域上连续,则存在一点,使得 , 其中是的面积. 引理(推广的积分第一中值定理)若在闭区间上连续,且在上不变号,则在至少存在一点,使得 引理(推广的定积分第二中值定理)如果函数在闭区间可积,在区间上可积且不变号,则在上必存在一点,使得 引理(二重积分中值定理的推广)若 (1)在闭区域上连续且非负,,关于单调递减 . (2)在上连续.则存在可积曲线使得 积分中值定理的应用 2.1积分第一中值定理的应用 例1 利用引理1,估计积分 (1), (2). 分析 用引理1估计 , 其中M和m分别是在上的最大、最小值.即.由此可以估计积分. 解(1)由于 , 即 . 所以 . (2)由引理1知存在C,使得 . 而 , 所以 . 例2 设函数在上连续,在可导,且, 其中,证明在内至少存在一点,使得. 分析 因为函数在上连续,在可导,只要再找出一点,使得 .再由罗尔定理即可得证. 证明 由引理1知,在上存在一点,使得 . 而 , 所以,由罗尔中值定理,在内至少存在一点,使得. 例3 假设为上的连续非负、严格单调减函数,且.证明 . 分析 要证,即需证. 证明 由积分中值定理可知