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函数 极限 连续
一. 填空题
1.设 , 则a = ________.
解. 可得 = , 所以 a = 2.
2. =________.
解.
?
所以?
, (n??)
, (n??)
所以? =
3. 已知函数 ??? , 则f[f(x)] _______.
解. f[f(x)] = 1.
4. =_______.
解.
??????? =
5. =______.
解.
6. 已知 (? 0 ? ?), 则A = ______, k = _______.
解.
所以? k-1=1990,?? k = 1991;?
二. 单项选择题
1. 设f(x)和?(x)在(-?, +?)内有定义, f(x)为连续函数, 且f(x) ? 0, ?(x)有间断点, 则
(a) ?[f(x)]必有间断点 (b) [ ?(x)]2必有间断点 (c) f [?(x)]必有间断点 (d) 必有间断点
解. (a) 反例? ??? ,? f(x) = 1, 则?[f(x)]=1
(b) 反例? ??? , [ ?(x)]2 = 1
(c) 反例? ??? ,? f(x) = 1, 则f [?(x)]=1
(d) 反设? g(x) = 在(-?, +?)内连续, 则?(x) = g(x)f(x) 在(-?, +?)内连续, 矛盾. 所以(d)是答案.
2. 设函数 , 则f(x)是
(a) 偶函数?? (b) 无界函数?? (c) 周期函数?? (d) 单调函数
解. (b)是答案.
3. 极限 的值是
(a) 0???? (b) 1??? (c) 2??? (d) 不存在
解.
= , 所以(b)为答案.
4. 设 , 则a的值为
(a) 1??? (b) 2??? (c) ????(d) 均不对
解. 8 = =
???? = ,?? , 所以(c)为答案.
5. 设 , 则?, ?的数值为
(a) ? = 1, ? = ???(b) ? = 5, ? = ???(c) ? = 5, ? = ???(d) 均不对
解. (c)为答案.
6. 设 , 则当x?0时
(a) f(x)是x的等价无穷小??????? (b) f(x)是x的同阶但非等价无穷小
(c) f(x)比x较低价无穷小??????? (d) f(x)比x较高价无穷小
解. = , 所以(b)为答案.
7. 设 , 则a的值为
(a) -1??? (b) 1??? (c) 2??? (d) 3
解. , 1 + a = 0, a = -1, 所以(a)为答案.
8. 设 , 则必有
(a) b = 4d??? (b) b =-4d??? (c) a = 4c??? (d) a =-4c
解. 2 = = , 所以a =-4c, 所以(d)为答案.
1. 求下列极限
(1)
解.
(2)
解. 令
=
(3)
解.
??? =
??? = = .
2. 求下列极限
(1)
解. 当x?1时, , . 按照等价无穷小代换???
(2)
解. 方法1:
= =
???? = =
???? =
???? =
???? =
???? =
方法2:
???? = =
???? = =
???? =
???? =
???? =
3. 求下列极限
(1)
解. ? ?
(2)
解. ????
(3) , 其中a 0, b 0
解. ? ?
??????? =
4. 求下列函数的间断点并判别类型
(1)
解. ,?
所以x = 0为第一类间断点.
(2)
解. ??
显然 , 所以x = 1为第一类间断点;
, 所以x = -1为第一类间断点.
(3) ???
解. f(+0) =-sin1, f(-0) = 0. 所以x = 0为第一类跳跃间断点;
?? 不存在. 所以x = 1为第二类间断点;
?? 不存在, 而 ,所以x = 0为第一类可去间断点;
?? , (k = 1, 2, …) 所以x = 为第二类无穷间断点.
5. 设 , 且x = 0 是f(x)的可去间断点. 求?, ?.
解.? x = 0 是f(x)的可去间断点, 要求
??? 存在. 所以
??? . 所以
??? 0 =
??? =
??? 所以? = 1.
???
?? =
上式极限存在, 必须 .
6. 设 , b ? 0, 求a, b的值.
解. 上式极限存在, 必须a = (否则极限一定为无穷). 所以
??
??? = .? 所以 .
7. 讨论函数 ? ?在x = 0处的连续性.
解. 当 时
不存在, 所以x = 0为第二类间断点;
当 时
, 所以 时,在 x =
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