陈文灯 考研辅导数学.doc

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PAGE PAGE 47 函数 极限 连续 一. 填空题 1.设 , 则a = ________. 解. 可得 = , 所以 a = 2. 2. =________. 解. ? 所以? , (n??) , (n??) 所以? = 3. 已知函数 ??? , 则f[f(x)] _______. 解. f[f(x)] = 1. 4. =_______. 解. ??????? = 5. =______. 解. 6. 已知 (? 0 ? ?), 则A = ______, k = _______. 解. 所以? k-1=1990,?? k = 1991;? 二. 单项选择题 1. 设f(x)和?(x)在(-?, +?)内有定义, f(x)为连续函数, 且f(x) ? 0, ?(x)有间断点, 则 (a) ?[f(x)]必有间断点 (b) [ ?(x)]2必有间断点 (c) f [?(x)]必有间断点 (d) 必有间断点 解. (a) 反例? ??? ,? f(x) = 1, 则?[f(x)]=1 (b) 反例? ??? , [ ?(x)]2 = 1 (c) 反例? ??? ,? f(x) = 1, 则f [?(x)]=1 (d) 反设? g(x) = 在(-?, +?)内连续, 则?(x) = g(x)f(x) 在(-?, +?)内连续, 矛盾. 所以(d)是答案. 2. 设函数 , 则f(x)是 (a) 偶函数?? (b) 无界函数?? (c) 周期函数?? (d) 单调函数 解. (b)是答案. 3. 极限 的值是 (a) 0???? (b) 1??? (c) 2??? (d) 不存在 解. = , 所以(b)为答案. 4. 设 , 则a的值为 (a) 1??? (b) 2??? (c) ????(d) 均不对 解. 8 = = ???? = ,?? , 所以(c)为答案. 5. 设 , 则?, ?的数值为 (a) ? = 1, ? = ???(b) ? = 5, ? = ???(c) ? = 5, ? = ???(d) 均不对 解. (c)为答案. 6. 设 , 则当x?0时 (a) f(x)是x的等价无穷小??????? (b) f(x)是x的同阶但非等价无穷小 (c) f(x)比x较低价无穷小??????? (d) f(x)比x较高价无穷小 解. = , 所以(b)为答案. 7. 设 , 则a的值为 (a) -1??? (b) 1??? (c) 2??? (d) 3 解. , 1 + a = 0, a = -1, 所以(a)为答案. 8. 设 , 则必有 (a) b = 4d??? (b) b =-4d??? (c) a = 4c??? (d) a =-4c 解. 2 = = , 所以a =-4c, 所以(d)为答案. 1. 求下列极限 (1) 解. (2) 解. 令 = (3) 解. ??? = ??? = = . 2. 求下列极限 (1) 解. 当x?1时, , . 按照等价无穷小代换??? (2) 解. 方法1: = = ???? = = ???? = ???? = ???? = ???? = 方法2: ???? = = ???? = = ???? = ???? = ???? = 3. 求下列极限 (1) 解. ? ? (2) 解. ???? (3) , 其中a 0, b 0 解. ? ? ??????? = 4. 求下列函数的间断点并判别类型 (1) 解. ,? 所以x = 0为第一类间断点. (2) 解. ?? 显然 , 所以x = 1为第一类间断点; , 所以x = -1为第一类间断点. (3) ??? 解. f(+0) =-sin1, f(-0) = 0. 所以x = 0为第一类跳跃间断点; ?? 不存在. 所以x = 1为第二类间断点; ?? 不存在, 而 ,所以x = 0为第一类可去间断点; ?? , (k = 1, 2, …) 所以x = 为第二类无穷间断点. 5. 设 , 且x = 0 是f(x)的可去间断点. 求?, ?. 解.? x = 0 是f(x)的可去间断点, 要求 ??? 存在. 所以 ??? . 所以 ??? 0 = ??? = ??? 所以? = 1. ??? ?? = 上式极限存在, 必须 . 6. 设 , b ? 0, 求a, b的值. 解. 上式极限存在, 必须a = (否则极限一定为无穷). 所以 ?? ??? = .? 所以 . 7. 讨论函数 ? ?在x = 0处的连续性. 解. 当 时 不存在, 所以x = 0为第二类间断点; 当 时 , 所以 时,在 x =

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