学位主干课考试ODE考前辅导20190404四1900-2030.doc

PAGE 1 PAGE 7 学位主干课《常微分方程》考前辅导 绪论 第一章的主要内容是建立方程和初始条件，并介绍整个课程中所使用的主要概念。以下几点是对第一章内容的总体要求。 *一．对于通过物理过程而建立微分方程，本课程不作太高的要求，了解和初步掌握几个方程及初始条件建立过程的物理模型即可。 *二. 利用平面曲线的分析性质（曲线的切线的斜率是导数）建立简单的曲线所满足的微分方程. 本次学位主干课考试对这部分内容不作要求。 ！三. 对于微分方程的一些基本的概念则要求熟练掌握，因为这些是后面求解方程所必须的。要求熟练掌握的概念有 ！微分方程的阶数； ！微分方程的解的概念和解的验证； ！微分方程组的解的概念和解的验证； ！微分方程的通解及特解； ！判断一个微分方程是线性的还是非线性的； ！判断一个线性微分方程是齐(次)的还是非齐(次)的； ！判断一个线性微分方程是常系数的还是变系数的. *至于一阶方程的解的几何意义，包括积分曲线，方向场，等斜线等则作为了解即可。 本章重点和注意事项： 关于微分方程的概念，主要放在概念性题目（例如选择题）中考查。 *利用平面曲线的分析性质建立简单的常微分方程，放在简答性题目（例如填空题）中考查。 验证方程的解通常出现在概念性的题目中。 ！典型例题：下列四个微分方程中, 三阶线性微分方程的有( )个 (i) ,????? (ii) , (iii) (iv) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 (见模拟试题单选题1) ！典型例题：微分方程是 A. n阶常系数非线性常微分方程; B. n阶变系数非齐线性常微分方程; C. n阶变系数非线性常微分方程; D. n阶常系数非齐线性常微分方程. (见模拟试题单选题3) ！典型例题： 微分方程的一个解是 A. B. C. D. (见模拟试题单选题2) 一阶微分方程的初等解法 第二章的主要内容是求解几类主要的一阶微分方程，这里总结主要的解法： 变量分离方程： 求解方法：先进行变量分离：，再在两边积分即得通解： . ！注意：在常微分方程中所遇到的不定积分和定积分是数学分析中所学过的公式中较为简单的形式。但仍要求熟练掌握：基本积分表中的积分公式，换元积分法，分部积分法等基本的积分方法。 典型例题：(作业)；(作业)；；。 ！注意：用分离变量法求解可分离变量的一阶常微分方程，是常微分方程这门课中最基本的解题方 法。正因为方法基本，在考试中不会直接出现这类题目。分离变量法常常出现在解其他类型的微分方程的中间步骤中。 ！二. 可化为变量分离方程的方程齐次方程 . 求解方法：作变量变换, 则，方程可以化为变量分离方程 . 其它形式的可化为变量分离方程的方程的求解方法则不做统一的要求, 但*要求掌握下面形式的方程如何化为齐次方程： , 或 或. *典型例题：. ！典型例题：利用变换(??? ?)可将齐次方程化为变量可分离型方程(???????? ). (见模拟试题填空题1) 三. ！一阶线性方程有形如下（是某区间上的连续函数） ！求解方法：用常数变易法来求解, 也可以直接利用公式: （参见教材34页（2.32）式） . 典型例题：(第37页作业3，另外5，7，8等题都与一阶线性方程有关)； ！求解一阶线性微分方程： (见模拟试题计算题1). 四. * 可化为一阶线性方程的方程是伯努利方程：() 求解方法：引入变量变换: , 则方程可以化为如下的线性方程: 利用线性方程的求解方法, 即可求解. 典型例题：(第37页习题11)，, (). 本次考试不涉及伯努利方程! 五. 恰当方程：方程是恰当方程的充分必要条件是 . （参见教材第二版41页(2.48)式或第三版52页(2.47)式） 求解方法：将方程的左端分项组合, 凑出全微分的形式, 即找出一个二元函数, 使得 。 则方程的通解为, 其中C是任意常数. 或者用分别求积分的方法, 即如下的公式: . (2.52) 典型例题：(第49页习题4)， . !典型例题：一阶常微分方程是恰当方程的充分必要条件是 A． B． C． D．. (见模拟试题单选题第5题) 六. 积分因子法求解方程：如果方程不是恰当方程, 则可用求积分因子的方法来求解, 我们学过的求积分因子的方法有两种类型: ！(i) 方程具有只与x有关的积分因子的充分必要条件为 (2.60) 是只与x有关的函数. 且当此条件满足时, 方程的积分因子可以取为 . (2.61) 小贴士 小贴士 如