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PAGE PAGE 1 第五单元 微分方程 §1 微分方程 一、知识点总结 （一）一阶微分方程 1、可分离变量方程 或 可分离变量方程的解法为： 原方程化为 ，两边积分+，求得：，称为隐式通解。 例1、求微分方程的通解。 例2、求微分方程的通解。 例3、求微分方程的通解。 2、齐次方程 或 齐次方程的解法为： 令=则，于是 ，代入得 ，再分离变量， 得 = 两端分别积分后得 得到通解为， 再用代替，便得到原方程的通解。 例4、求微分方程。 例5、求微分方程满足初始条件的特解。 例6、求微分方程通解。 3、一阶线性微分方程 称为一阶线性微分方程． （1）若时，方程称为一阶线性齐次微分方程。 （2）若时，方程称为一阶线性非齐次微分方程。 一阶线性齐次微分方程 的通解为： 。 一阶线性非齐次微分方程 的通解为： 。 注：非齐次方程的通解齐次方程的通解非齐次方程的特解。 例7、求微分方程的通解。 例8、求微分方程的通解。 关于一阶线性微分方程的积分因子解法 取，称为积分因子. 则 于是，通解为 例9、求微分方程的通解。 例10、求微分方程的通解。 例11、求微分方程的通解。 例12、求微分方程的通解。 例13、求微分方程的通解。 4、伯努利方程 （） 伯努利方程得解法： 原方程变形为 ，令，则 代入得 此方程为一阶线性微分方程。 例14、求微分方程的通解。 例15、求微分方程的通解。 例16、求微分方程的通解。 5、全微分方程 若存在函数，使 则称该方程为全微分方程，其通解为。 为全微分方程。且 （1） （2）由及来求得。 例17、求微分方程的通解。 例18、求微分方程的通解。 例19、求微分方程的通解。 例20、求微分方程的通解。 （二）高阶微分方程 1、可降阶的高阶微分方程 （1）型 （2）型（不显含） 方程解法：设，则，原方程降为一阶微分方程： 求其通解为 ，则原方程的通解为 。 （3）型（不显含） 方程解法：设，则，原方程降为一阶微分方程： 求其通解为，则原方程通解为 。 例21、求微分方程的通解。 例22、求微分方程的通解。 例23、求微分方程的通解。 例24、求满足初始条件， 的特解。 或 例25、求微分方程的通解。 2、二阶线性微分方程解的结构 （1）二阶线性微分方程的概念：形如 的微分方程称为二阶线性微分方程。 = 1 \* GB3 ① 当时，则称 为二阶线性齐次微分方程。 = 2 \* GB3 ② 当时，则称 为二阶线性非齐次微分方程。 （2）二阶线性微分方程解的结构： = 1 \* GB3 ① 性质1：若与是二阶线性齐次微分方程 （1） 的两个解，则（，是任意常数）也是方程（1）的解。 例如：，两个特解：；。 例如：，两个特解：；。 线性无关：若非零函数满足：（为常数），则称与线性无关。否则，称与线性相关。 = 2 \* GB3 ② 性质2：若与是方程（1）的两个线性无关的特解，则 是方程（1）的通解（，是任意常数）。 例如：，两个特解：；。 = 3 \* GB3 ③ 性质3：设是二阶非齐次线性微分方程 （2） 的一个特解，是其对应的齐次方程 的通解，则是二阶线性非齐次微分方程（2）的通解。 注：非齐次方程的通解齐次方程的通解非齐次方程的特解。 = 4 \* GB3 ④ 性质4：设，分别是 及 的特解，则方程 的特解。 例如：的特解，的特解，则方程的特解为。 3、二阶常系数齐次线性微分方程 特征方程：。 （ = 1 \* roman i）当特征方程有两个不等实根与时，通解为： （ = 2 \* roman ii）当特征方程两个相等实根，通解为： （ = 3 \* roman iii）当特征方程有一对共轭虚根，通解为 例1、求微分方程的通解。 例2、求微分方程的通解。 例3、求微分方程的解。 例4、求微分方程的通解。 例5、求微分方程的通解。 例6、求微分方程满足条件，的特解。 例7、求微分方程的通解。 例8、求微分方程的通解。 例9、求微分方程的通解。 4、二阶常系数非齐次线性微分方程 （1）型 方程的特解为：，其中按不是特征方程的根；是特征方程的单根、重根依次取为、或。 例10、求微分方程的通解。 例11、求微分方程的通解。 例12、写出特解形式 （1）； （2）； （3）。 例13、求微分方程的通解。 （2）型 其特解形式为： 其中，是m次多项式，，而按不是特征