高等数学-第一章第七节-无穷小的比较.ppt

函数与极限 无穷小的比较 利用等价无穷小替换求极限 小结 思考题 作业 第七节 无穷小的比较 如, 不可比. 观察各极限 是无穷小. 一、无穷小的比较 无穷小的比较 不存在. 极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同. 定义 记作 记作 无穷小的比较 是同一过程中的两个无穷小, 高阶的无穷小; 低阶的无穷小; 同阶无穷小; 等价无穷小, 如 高阶无穷小, 同阶无穷小. 因为 二阶无穷小. 无穷小的比较 k 阶无穷小. 常用等价无穷小 无穷小的比较 例 解 例 解 无穷小的比较 例 解 无穷小的比较 例 解 定理1 证 因此 设 则 因此 设 则 无穷小的比较 二、利用等价无穷小替换求极限 两个等价无穷小的差,比它们中的任何一个都是高阶无穷小; 此定理说明: 或者说,一个无穷小 无穷小的比较 例 所以 所以 所以 无穷小的比较 所以 例 解 无穷小的比较 定理2 证 (等价无穷小替换定理) 无穷小的比较 例 解 等价无穷小替换定理说明, 两个无穷小之 比的极限, 可由它们的等价无穷小之比的极限 代替. 给 型未定式的极限运算带来方便. 无穷小的比较 例 解 加、减项的无穷小一般不要用等价无穷小代换. 注 无穷小的比较 例 解 解 错 无穷小的比较 解 无穷小的比较 解 故 以及 无穷小的比较 无穷小的比较 1. 无穷小的比较 2. 等价无穷小的替换 求极限的又一种方法, 注意适用条件. 高(低)阶无穷小; 同阶(等价)无穷小; 无穷小的阶. 无穷小的比较 三、小结 反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速度 但并不是所有的无穷小都可进行比较. 快慢, (1) 在极限的乘除运算中，可先求出极限不为零的因式 的极限。 (2) 在加减运算中，一般不用等价无穷小替换，可先化 为乘除。 思考题 任何两个无穷小都可以比较阶的高低吗？ 无穷小的比较 解答 不能． 都是无穷小, 但 例如 不存在. 故 不能比较. 作业7 无穷小的比较 * *