2013年全国高中数学联赛甘肃赛区预赛试卷.doc

二○一三年全国高中数学联赛甘肃赛区预赛试卷 （2013年6月23日 9：00—11：30） 题 号 填空题 解答题 总成绩 11 12 13 14 15 得 分 评卷人 复核人 考生注意： 1．本试卷满分120分，第一题共10小题，满分60。 2．用蓝色（或黑色）钢笔、签字笔，圆珠笔作答。 3．解题书写不要超过装订线。 4．不能使用计算器。 一、填空题（本大题共10小题，第小题6分，共60分） 1．已知集合A={x||x-2|a},B={x|x2-2x-30},若BA，则实数a的取值范围是??????????????????? ?．某程序框图如图所示，则输出的S=_____________. 3．已知四棱锥P—ABCD的三视图如图所示，则四棱锥P—ABCD的四个侧面面积的最大值是_____________. 4．已知函数f(x)对任意xR，才有，且f(1)=-2，f(2013)=___________. 5．7个花色不同的小球放到编号分别为1、2、3的3个盒子内，要求各盒子子内的小球数不小于其编号数，则不同的方法种数为_________________. 6．在△ABC中，a,b,c分别是∠A，∠B，∠C的对边，且ac+c2=b2-a2,若△ABC最在边的边长为，且sinC=2sinA，则△ABC最小边的边长为___________. 7．把一根长为7米的铁丝截下两段（也可以直接截成两段），这两段的长度之差不超过1米，分别以这两段铁丝围成两个圆，则这两个圆面积之各的最大值为_________平方米. 8．如图，正三棱锥O—ABC的三条侧棱OA、OB、OC两两垂直，且长度均为2，E、F分别是AB、AC的中点，H是EF的中点，过EF作平面与侧棱OA、OB、OC或其延长线分别交于A1、B1、C1，已知OA1=3/2，则二面角O—A1B1—C1的下切值为___________. 9．抛物线 y2=2px (p0) 的焦点为F，已知点A、B为抛物线上的两个动点，且满足 ∠AFB=120o，过弦AB的中点M作抛物线的准线MN，垂中为N，则的最大值为_______. 10．设[x]表示不超过x的最大整数，则_______________________. 二、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分） 11．（本题满分12分） 设f(x)是定义在[1，∞）上的增函数，且关于x的不等式f(k2-cos2x)≤ f(k2+cos2x)恒成立，求数k的取值范围。 12．（本题满分12分） 已知椭圆E：（ab0）的一个焦点为，且过点，设椭圆E的上下顶点分别为A1、A2，P是椭圆上异于A1、A2的任一点，直线PA1、PA2分别交x轴于点M、N，若直线OT与过点M、N的圆G相切，切点为T。证明：线段OT的长为定值，并求出该定值。 13．（本题满分12分） 已知函数，，其中 (1)若函数有极值1，求a的值； (2)若函数在区间（0，1）上为增函数，求a的取值范围； (3)证明：． 14．（本题满分12分） 已知Sn是数列的前n项和，且， (1)求an与an-1之间的关系式； (2)求使得数列{an}为递增数列的所有a0的取值． 15．(本题满分12分) 已知a，b，c为正实数，求证： eq \f(\r(a2+3bc),a)+\f(\r(b2+3ac),b)+\f(\r(c2+3ab),c)≥6 (2)求使得数列{an}这递增数列的所有a0的取值。