青海大学7_3 幂级数.ppt

* §7.3 幂级数 一、函数项级数的概念 二、幂级数及其收敛性 三、幂级数的运算 Page * 一、 函数项级数的概念 设 为定义在区间 I 上的函数项级数 . 对 若常数项级数 敛点, 所有收敛点的全体称为其收敛域 ; 若常数项级数 为定义在区间 I 上的函数, 称 收敛, 发散 , 所有 为其收 为其发散点, 发散点的全体称为其发散域 . Page * 为级数的和函数 , 并写成 若用 令余项 则在收敛域上有 表示函数项级数前 n 项的和, 即 在收敛域上, 函数项级数的和是 x 的函数 称它 Page * 例如, 等比级数 它的收敛域是 它的发散域是 或写作 又如, 级数 级数发散 ; 所以级数的收敛域仅为 有和函数 Page * 二、幂级数及其收敛性 形如 的函数项级数称为幂级数, 其中数列 下面着重讨论 例如, 幂级数 为幂级数的系数 . 即是此种情形. 的情形, 即 称 Page * 发 散 发 散 收 敛 收敛 发散 定理 1. ( Abel定理 ) 若幂级数 则对满足不等式 的一切 x 幂级数都绝对收敛. 反之, 若当 的一切 x , 该幂级数也发散 . 时该幂级数发散 , 则对满足不等式 证: 设 收敛, 则必有 于是存在 常数 M 0, 使 Page * 当 时, 收敛, 故原幂级数绝对收敛 . 也收敛, 反之, 若当 时该幂级数发散 , 下面用反证法证之. 假设有一点 满足不等式 所以若当 满足 且使级数收敛 , 面的证明可知, 级数在点 故假设不真. 的 x , 原幂级数也发散 . 时幂级数发散 , 则对一切 则由前 也应收敛, 与所设矛盾, 证毕 Page * 幂级数在 (－∞, +∞) 收敛 ; 由Abel 定理可以看出, 中心的区间. 用±R 表示幂级数收敛与发散的分界点, 的收敛域是以原点为 则 R = 0 时, 幂级数仅在 x = 0 收敛 ; R = ? 时, 幂级数在 (－R , R ) 收敛 ; (－R , R ) 加上收敛的端点称为收敛域. R 称为收敛半径 ， 在[－R , R ] 可能收敛也可能发散 . 外发散; 在 (－R , R ) 称为收敛区间. 发 散 发 散 收 敛 收敛 发散 Page * 定理2. 若 的系数满足 证: 1) 若? ≠0, 则根据比值审敛法可知: 当 原级数收敛; 当 原级数发散. 即 时, 1) 当? ≠0 时, 2) 当? ＝0 时, 3) 当? ＝∞时, 即 时, 则 Page * 2) 若 则根据比值审敛法可知, 绝对收敛 , 3) 若 则对除 x = 0 以外的一切 x 原级发散 , 对任意 x 原级数 因此 因此 的收敛半径为 说明:据此定理 因此级数的收敛半径 Page * 对端点 x =－1, 的收敛半径及收敛域. 解: 对端点 x = 1, 级数为交错级数 收敛; 级数为 发散 . 故收敛域为 例1.求幂级数 例2. 求下列幂级数的收敛域 : 解: (1) 所以收敛域为 (2) 所以级数仅在 x = 0 处收敛 . 规定: 0 ! = 1 Page * Page * 例3. 的收敛半径 . 解: 级数缺少奇次幂项,不能直接应用定理2, 比值审敛法求收敛半径. 时级数收敛 时级数发散 故收敛半径为 故直接由 例4. 的收敛域. 解: 令 级数变为 当 t = 2 时, 级数为 此级数发散; 当 t = – 2 时, 级数为 此级数条件收敛; 因此级数的收敛域为 故原级数的收敛域为 即 Page * Page * 三、幂级数的运算 定理3. 设幂级数 及 的收敛半径分别为 令 则有 : 其中 以上结论可用部分和的极限证明 . Page * 说明: 两个幂级数相除所得幂级数的收敛半径可能比 原来两个幂级数的收敛半径小得多. 例如, 设 它们的收敛半径均为 但是 其收敛半径只是 Page * 定理4 若幂级数 的收敛半径 则其和函 在收敛域上连续, 且在收敛区间内可逐项求导与 逐项求积分, 运算前后收敛半径相同: 注: 逐项积分时, 运算前后端点处的敛散性不变. Page * 解: 易知级数的收敛半径 R＝+∞. 例5. 则 故有 故得 的和函数 . 因此得 设 例6. 的和函数 解: 易求出幂级数的收敛半径为 1 , x＝±1 时级数发 散, Page * 例7. 求级数 的和函数 解: 易求出幂级数的收敛半径为 1 , 及 收敛 , Page * 因此由和函数的连续性得: 而 及 Page * Page * 例8. 解: