恒成立问题方法技巧探究.doc

恒成立问题方法技巧探究（1） 周至二中 朱少飞（####） 全国卷（一、二、三卷，文科、理科）高考试题的21题主要考查导数及其应用，要求学生具备利用导数分析讨论复杂函数问题的能力，属于压轴题。恒成立问题属于常考问题，本文主要探究高考压轴题中恒成立问题的规律，寻找基本的解决方法。 本文以2011年全国卷理科21题第二问为例题，采取三种方法进行分析、求解. 例（2011年全国卷理科21题第二问） ，如果当，且时，，求的取值范围. 分析： 将转化为恒成立问题的标准形式； 注：本题若采取分离参数的方法，分离参数后为 ，需要讨论函数的最单调性，，通过多次求导后，可以得出在单调递增，在单调递增但是，无法确定的下界,因此不采用分离参数的方法（其实分离参数后可以采用洛必达法则求出（见方法二））. 直接讨论的单调性非常复杂，需要对解析式进行变形，，转化为讨论的单调性，相对简单. 为了研究导函数的正负，对其进行分离参数，，便于分类讨论. 函数在单调递减，在单调递增，，又因为，所以，因此以和作为分类讨论的标准. 按照，，三个区间进行分类讨论，符合题意需要证明，不符合题意需要举出反例. 对于导函数正负的判断可以不分离参数，直接研究其单调性、最值，探究其正负（见方法三）. 解： 方法一：分离参数、分类讨论 ， 设（）， 则 ， 设（），则，由得， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故当且时，， 若时，因为当且时，， 所以，而， 故当时，，可得， 当时，，可得， 因此当且时，， 即. 若时，在单调递减，，， 所以存在唯一，使得，即，而且 当时，，即，则单调递增，所以，可得，与题意不符. 若，此时，则单调递增，所以当时，，可得，与题意不符. 综上所述，的取值范围为. 方法二：分离参数、多次求导、洛必达法则 ， 设（），则， 设（），则， 设（），则， 设（），则， 所以在单调递增，又因为，所以 当时，，即，则单调递减， 当时，，即，则单调递增， 所以，即，所以在单调递增， 又因为，所以 当时，，即，则单调递减， 当时，，即，则单调递增， 所以当时，， 由洛必达法则得：， 所以，则， 所以，则的取值范围为. 方法三： ， 设（）， 则， 设（），则， 若时，，则在单调递增，所以，即，则在单调递增， 所以当时，，则，不符合题意. 若时，由得， = 1 \* GB3 ①当时，，所以 当时，，单调递增， 所以当时，，即，则单调递增，所以，则，不符合题意. = 2 \* GB3 ②当时，，即， 所以在单调递减，又因为，所以 当时，，可得， 当时，，可得， 因此当且时，， 即. 综上所述，的取值范围为. 由于作者水平有限，难免出现不足、错误之处，还望各位同仁不吝赐教，批评指正.