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第六讲 二次函数初步 知识要点： 二次函数的概念和特征1、二次函数的概念：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数． 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零． 二次函数的定义域是全体实数． 2、二次函数的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2． ⑵ 是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项． 【练习1】⑴ 已知函数，当是什么数时，函数是二次函数？ ⑵ 已知函数， ① 当，，是怎样的数时，它是一次函数？ ② 当，，是怎样的数时，它是正比例函数？ ③ 当，，是怎样的数时，它是二次函数？ 【练习2】判断下列函数是不是二次函数.如果不是，请说出为什么. ⑴； ⑵； ⑶(是常数)； ⑷； ⑸； ⑹（是常数，）； ⑺（为常数）； ⑻ 【练习3】拟建中的一个温室的平面图如图。如果温室外围是一个矩形，周长为，室内通道的尺寸如图， 设一条边长为，种植面积为。则与之间的函数关系式为________________________ a、对二次函数和的图像及性质的描绘 根据图像总结二次函数和（）的性质： 二次函数的图像是一条曲线，叫做抛物线．抛物线是轴对称图形，有且只有一条对称轴，对称轴与抛物线的交点是这个抛物线的顶点． 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 轴 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 轴 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 1、的性质： 2、的性质： 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 轴 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 轴 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 【练习4】 ⑴ 二次函数在其图像对称轴的左侧，随着的增大而减小，则的值为 . ⑵ 二次函数在其图像对称轴的右侧，随着的增大而减小，则的值为 . ⑶ 已知，点，，都在函数的图像上，则（ ） A. B. C. D. b、对二次函数和的图像及性质的描绘 1、的性质： 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 直线 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 直线 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 2、的性质： 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 直线 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 直线 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． c、二次函数与的比较 从解析式上看，与是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前 者，即，其中． d、二次函数的性质 1、当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为． 当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大； 当时，有最小值． 2、当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为． 当时，随的增大而增大； 当时，随的增大而减小； 当时，有最大值． 【练习5】画出下列函数的图像，并指出图像顶点坐标、对称轴及函数最值 ⑴ ； ⑵ ； ⑶ . 【练习6】 画出下列函数的图像 ⑴ ⑵ 确认二次函数解析式的方法: 1、已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式: (为常数，) 2、已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式：(为常数，) 3、已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式： 【练习7】已知一个二次函数过三点，求二次函数的解析式. 【练习8】已知二次函数的对称轴为，且经过点，求二次函数的解析式. 【练习9】 已知二次函数图像经过点三点，求此二次函数解析式. 【练习10】已知一抛物线的形状与的形状相同.它的对称轴为，它与轴的两交点之间的距 离为，求此抛物线的解析式. 【练习11】锐角中，，，两动点，分别在边、上滑动，且， 以为边向下作正方形，设其边长为，正方形与公共部分的面积为 （1）中边上高 ； （2）当 时， 恰好落在边上（如图1）； （3）当在外部时（如图2），求关于的函数关系式并写出定义域？