数列特征方程的来源与应用.doc

数列特征方程的来源与应用 关于一阶线性递推数列：其通项公式的求法一般采用如下的参数法[1]，将递推数列转化为等比数列： 设 ， 令，即，当时可得 知数列是以为公比的等比数列， 将代入并整理，得 对于二阶线性递推数列，许多文章都采用特征方程法[2]： 设递推公式为其特征方程为， 若方程有两相异根、，则 若方程有两等根则 其中、可由初始条件确定。 很明显，如果将以上结论作为此类问题的统一解法直接呈现出来，学生是难以接受的，也是不负责任的。下面我们结合求一阶线性递推数列的参数法，探讨上述结论的“来源”。 设，则,令 （*） 若方程组（*）有两组不同的解, 则, , 由等比数列性质可得, , 由上两式消去可得. 特别地，若方程组（*）有一对共扼虚根通过复数三角形式运算不难求得此时数列的通项公式为其中、可由初始条件求出。 若方程组（*）有两组相等的解，易证此时，则 ， ,即是等差数列， 由等差数列性质可知， 所以． 这样，我们通过将递推数列转化为等比（差）数列的方法，求得二阶线性递推数列的通项，若将方程组（*）消去（或）即得此方程的两根即为特征方程的两根，读者不难发现它们的结论是完全一致的，这正是特征方程法求递推数列通项公式的根源所在。 斐波那契数列，求通项公式。 解 此数列对应特征方程为即，解得， 设此数列的通项公式为， 由初始条件可知， ，解之得， 所以。 已知数列且，求通项公式。 解 此数列对应特征方程为即，解得， 设此数列的通项公式为， 由初始条件可知，，解之得， 所以。 已知数列且，求通项公式。 解 此数列对应特征方程为即， 解得， 设此数列的通项公式为， 由初始条件可知， ，解之得， 所以。 最后我们指出，上述结论在求一类数列通项公式时固然有用，但将递推数列转化为等比（等差）数列的方法更为重要。如对于高阶线性递推数列和分式线性递推数列，我们也可借鉴前面的参数法，求得通项公式。 例4、设数列满足 解： 对等式两端同加参数得 ，，代入， 得相除得 即的等比数列， 。