第九章 排队论 (1).ppt

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排队是我们在日常生活中经常遇到的现象,例如病人到医院看病、客户到银行汇款、城市拥堵路段的汽车排队、电话占线等。排队现象产生的原因之一是要求服务的数量超过了服务机构的容量,也就是有部分的服务对象不能立即得到服务;原因之二是系统服务对象到达和服务时间均存在随机性。前者可以通过增加服务机构的容量来解决排队现象,但无休止地增加服务机构的容量会导致追加投资并可能发生系统资源长时间闲置。后者,也就是系统服务对象到达和服务时间均存在随机性,致使无法准确预测估算排队拥堵的具体情况。所以,在服务系统中的排队现象几乎不可避免。 排队论的系统输入还要关注顾客源是有限集还是无限集。如工厂内待修的机器数显然是有限集,而到某航空售票处购票的顾客源则可以认为是无限的。 顾客的到达可以是相互独立的,也就是说,以前的到达情况对以后顾客的到达没有影响,否则就是有关联的。如工厂内的机器在一个短的时间区间内出现故障(顾客到达)的概率就受已经待修或被修理机器数目的影响。我们主要讨论的是相互独立的情形。 输入过程可以是平稳的,或称为对时间是齐次的,是指描述相继到达的时间间隔分布和所含参数(如期望、方差)都是与时间无关的,否则成为非平稳的。我们主要讨论的是平稳的情形。 G:一般随机分布。 例如M/M/l表示到达的间隔时间服从负指数分布,服务时间也服从负指数分布的单服务台排队系统模型。M/D/2表示到达间隔时间服从负指数分布,而服务时间为定长分布的双服务台排队系统模型。 1971年有关排队论符号的标准化会议将Kendall符号扩展为X/Y/Z/A/B/C,其中A指排队系统的容量,取非负整数或∞;B表示顾客源的数目,取非负整数或∞;C表示服务规则(先来先服务FCFS、后来先服务LCFS,具有优先权的服务PS,随机服务SIRO等)。 如M/M/1/ ∞ / ∞ / FCFS:表示顾客到达的时间间隔服从负指数分布、服务时间服从负指数分布、单服务台、系统容量为无限、顾客源为无限、排队规则为先来先服务的排队模型。我们这一章的模型只讨论先到先服务的情形,因此后面都略去第六项。 (1)平均队长Ls和平均排队长Lq。平均队长Ls指一个排队系统的顾客平均数(其中包括正在接受服务的顾客)。而平均排队长Lq则是指系统中等待服务的顾客平均数; (2)平均逗留时间ws和平均等待时间wq。平均逗留时间ws指进入系统的顾客逗留时间的平均值(包括接受服务的时间),而平均等待时间wq则是指进入系统的顾客等待时间的平均值; (3)忙期和闲期。忙期是指服务机构两次空闲的时间间隔,这是一个随机变量,是服务员最关心的指标,因为它关系到服务员的服务强度;与忙期相对的是闲期,它是服务机构连续保持空闲的时间。在排队系统中,忙期和闲期总是交替出现的。 (4)服务强度ρ。每个服务台单位时间内平均服务时间。 其中Ls、Lq、ws和wq通常称之为重要的运行指标。它们取值越小,说明系统队长越短,顾客等候时间越少,因此系统的性能就越好。 我们在稳态下,讨论单服务台排队系统和多服务台排队系统。 9.4 案例分析 9.4.1大型超市收银台设计 (1)大型超市排队系统的组成与特征 大型超市排队系统示意图: (2)不同规则下大型超市排队系统的相关参数计算 假设在大型超市的排队系统中,输入过程服从泊松分布,服务时间服从负指数分布 λ表示单位时间内平均到达的顾客数 μ表示各个服务台的平均服务速率(服务员的服务能力) ρ表示平均每单位时间中系统可以为顾客服务的比例, (1)在单队单服务台的情况下: (2)单队多服务台情况下就为M/M/C模型,此时有: , , 9.4.2某大型超市收银台排队系统分析 南京江宁区大学城附近有一大型超市,由于靠近大学城所以该大型超市的顾客源较稳定。目前该超市的平均每小时有60位顾客到收银台前结账,每位顾客在收银台付款的平均时间为3分钟,也就是每个柜台每小时可以为20个顾客提供服务。 (1)若该超市仅设置一个服务台,计算其相应参数; (2)若该超市设置6个服务台,且实行单队多服务台的排队规则计算其相应参数。 (3)系统在平稳状态下平均排队长(系统排队等待的顾客数) Lq为 平均排队人数等于系统的平均人数减去平均的正在接受服务的人数: 或 设每个顾客在系统中平均逗留时间为Ws。顾客在系统中逗留的时间T服从参数为μ-λ的负指数分布,即顾客在系统中逗留时间超过t的概率为: 因此顾客在系统中平均逗留时间为: 或 每个顾客在系统中平均等待时间为Wq,平均等待时间为顾客在系统中平均逗留时间减去平均服务时间: 或 例.假设某高铁售票处仅一台自助售票机,买票的人随机到来,且服从泊松分布,平均为每小时20人。如果售票的服务时间平均每人需

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