人教A版选修2-2第二章 2.2.2反证法 课程教学设计.doc

反证法(教学设计) ?【教学目标】 知识与技能： 1.通过实例理解反证法的概念； 2.了解反证法的思考过程与特点,掌握反证法证明问题的步骤。 过程与方法：通过反证法的应用体会“正难则反”的数学思想，提升逻辑推理能力。 情感态度价值观：渗透事物之间都是相互对立、相互矛盾、相互转化的辩证唯物主义思想。 【教学重难点】 学习重点：理解反证法的概念、反证法的特点，把握反证法的适用范围。 学习难点：如何假设问题的反面，如何在证明过程中导出矛盾。 【学法指导】 通过预习教材和导学案，理解反证法的概念及反证法证明命题的思路方法，自己总结反证法证题的基本步骤，理解反证法的原理。合作探究反证法的证明过程和一般思路，掌握反证法的特点和表述的规律及适用题型，提升自己的分析能力和数学论证能力。 【教学过程】 一.情景引入 （1）如果有5只鸽子飞进两只鸽笼，至少有3只鸽子在同一只鸽笼，对吗？ （2）将9个球分别染成红色或白色，无论怎样染，至少有5个球是同色的，你 ? ? 能证明这个结论吗？ 分析：假设有某种染法使同色的球数都不超过4个，则球的总数不超过4+4=8， ? ? ?这与球的总数是9矛盾。因此，假设不成立，无论怎样染，至少有5个 ? ? ? ?球是同色的。 我们可以把这种说理方法应用到数学问题上。（引出反证法） 二．基本概念 一般地，假设原命题不成立（即假设在原命题的条件下，结论不成立）， 经过正确的推理，最后得出矛盾。因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这种证明方法叫做反证法。 把这种不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法称为间接证明。 注：反证法是最常见的间接证明法。 反证法证题的基本步骤： ①假设——假设命题的结论不成立，即假设命题结论的否定成立； ②找矛盾——从假设出发，经过一系列正确的逻辑推理，推出矛盾（与已知矛盾，与定义，公理，定理，事实等矛盾，与假设矛盾，在证明过程中出现自相矛盾等），从而否定假设； ③下结论——由矛盾结果，断定假设不成立，从而肯定原命题的结论成立。 简单记为：否定结论——推出矛盾——肯定结论 ? ? ? ? ?（其中推出矛盾是反证法证明的关键） 三．典型例题 例1.求证：在三角形ABC中，至少有一个内角不小于60°。 分析：从条件出发很难入手去证，可以考虑从反面入手 证明：假设原命题的结论不成立， ? ? ? 即三角形三个内角∠A 、 ∠B 、∠C都小于60° ? ? ? 则有∠A+∠B+∠C ＜180°， ? ? ? ? ? ? ? ? ? 这与三角形内角和等于180°相矛盾。 ? ? ? 所以假设不成立， ? ? ? ? ? ? ? ? 所以原命题成立，即在个三角形中，至少有一个内角不小于60° 注：结论中含“至多、至少”等词语，直接证明难以下手的命题，改变其思维方 ? ?向，从反面进行思考。 例2.已知，证明x的方程ax=b有且只有一个根。 证明：由于a ≠0，因此方程至少有一个根 ? ? 如果方程不只一个根，不妨设（)是方程的两个根。 则，所以，所以，则 因为，所以，即 与矛盾，故假设不成立，结论成立。 四．常用正面词语的否定形式 正面词语 等于 大于 小于 是 都是 都不是 否定 正面词语 至多有一个 至少有一个 对任意x 不成立 对所有x成立 至多有n 个 至少有n个 否定 五．课堂练习 一、选择题 1．应用反证法推出矛盾的推导过程中，要把下列哪些作为条件使用(　　) ①结论相反判断，即假设　②原命题的结论 ③公理、定理、定义等　　④原命题的条件 A．①④　　　　　　　　 B．①②③ C．①③④ ? ?? ?D．②③ [答案]　C [解析]　由反证法的规则可知①③④都可作为条件使用，故应选C. 2．命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是(　　) A．两个内角是直角 B．有三个内角是直角 C．至少有两个内角是直角 D．没有一个内角是直角 [答案]　C [解析]　“最多只有一个”即为“至多一个”，反设应为“至少有两个”，故应选C. 3．如果两个实数之和为正数，则这两个数(　　) A．一个是正数，一个是负数 B．两个都是正数 C．至少有一个正数 D．两个都是负数 [答案]　C [解析]　假设两个数都是负数，则两个数之和为负数，与两个数之和为正数矛盾，所以两个实数至少有一个正数，故应选C. 二、填空题 4．“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是_________________． [答案]　存在一个三角形，其外角最多有一个钝角 [解析]　全称命题的否定形式为特称命题，而“至少有两个”的否定形式为“至多有一个”．故该命题的否定为“存在一个三角形，其外角最多有一个钝角”． 六．课堂小结 1.基本概念： ①间接证明 ②反证法 2.反证法的证明步骤： ⑴