第三节集合的表示方法.ppt

1.1.2 集合的表示方法 使学生掌握常用的集合表示方法，能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题.(重点、难点） 思考1 怎样表示“方程x2-5x=0 在实数内解的全体” 组成的集合C？ 解答：可以这样表示：C={0，5}. 像这样把集合的所有元素都列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法. 思考2 怎样用列举法来表示“由大于3小于 10的整数组成的集合”？ 解答：{4，5，6，7，8，9}. 列举法的优点与使用时的注意事项： (1)优点:可以明确集合中具体的元素 及元素的个数; (2)使用列举法必须注意: ①元素间用“，”分隔; ②元素不重不漏; 适用范围: ⅰ.含有有限个元素且个数较少的集合; ⅱ. 集合的元素较多，元素的排列又呈现一定的规律 例如,不大于100的自然数的全体构成的集合,可表示为 {0,1,2,3,…，100}. ⅲ.无限集有时也用上述的列举法表示. 例如，自然数集N可表示为{0,1,2,3,…，n,…}. 思考3 能不能用列举法表示“由大于3小于10的实数组成的集合”? 解答：我们不能用列举法来表示大于3小于10的实数组成 的集合，因为这个集合的元素是列举不完的，而元素的排列又不呈现明显的规律. 对于元素较多的集合或者根本就不能将元素一一列举的集合用“描述法”来表示就显得简洁明了多了。 思考4 如何表示第一象限的点组成的集合? 解答：第一象限的点有无数个,无法用列举法表示，但这些点有明确的特征，横坐标x0,纵坐标y0,则第一象限的点集可以表示为{(x,y)|x0,y0},这种表示集合的方法叫描述法. 什么是描述法呢？ 一般地，如果在集合I中，属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x),而不属于集合A的元素都不具有性质p(x),则性质p(x)叫做集合A的一个特征性质.于是，集合A可以用它的特征性质p(x)描述为 {x∈I|p(x)}， 它表示集合A是由集合I中具有性质p(x)的所有元素构成的. 这种表示集合的方法，叫做特征性质描述法，简称描述法. { x∈R 3 x＜10 } 注意：在不致发生误解时，x的取值集合可以省略不写.例如，在实数集R中取值，“∈R”常常省略不写，像上述集合也可以写作{x|3x＜10}. 思考3中，大于3小于10的实数组成的集合可表示为： 代表元素 所有元素所共有 的“特征性质” 描述法的一般形式为： { x∈I|p(x)} x为该集合的代表元素 p(x)表示该集合中的元素x所具有的性质 使用描述法必须注意： ①写清该集合中的代表元素； ②准确说明该集合中元素的特征； ③不能出现未被描述的字母； ④准确使用“且”与“或”； ⑤所有描述的内容都要写在“｛ ｝”内； ⑥集合符号“｛ ｝”已包含“所有”的意思,文字描述不应该再用“全体”、“全部” 、“所有”或“集”等词语. 7：方法不唯一 提升总结：集合的表示方法的变换 列举法 描述法 通过对元素规律的观察概括出元素的特征性质 根据元素的特征性质找出具体元素 [分析]对于(1)集合A中“x∈N”且“0x≤5”共同限制了集合元素的属性，而（2）中所求的也即是方程的解集，解方程即得。 解（1）A＝{1,2,3,4,5}； （2）B＝{2,3}. 应用列举法应注意的问题： （1）用列举法表示集合时，要注意是数集还是点集； （2）列举法适合表示有限集，当集合中的元素个数较少时，用列举法表示集合比较方便，且使人一目了然. 提升总结 变式训练:用列举法表示下列集合: （1）由x2-9=0方程的所有实数根组成的集合. （2）由小于8的所有素数组成的集合. （3）一次函数y=x+3与y=-2x+6的图象的交点组成的集合. 例2 用描述法表示下列集合: （1）｛-1,1｝； （2）大于3的全体偶数构成的集合； （3）在平面 内，线段AB的垂直平分线. [分析]对于用描述法表示的集合，要从本质上去认识它，看清集合的“代表元素”，判断出我们要研究的集合元素所共有的“特征性质”. 解:(1) 这个集合的一个特征性质可以描述为绝对值等 于1的实数，即|x|＝1 于是这个集合可以表示为 {x||x|=1}. (2)这个集合的一个特征性质可以描述为 x3，且x=2n,n∈N. 于是这个集合可以表示为 {x|x3,且x=2n,n∈N} 通常用大写字母表示点 （元素），用小写字母表示点的集合. (3) 设点P为线段AB的垂直平分线上任一点， 点P和线段AB都在平面 内，则这个集合 的特征性质可以描述为