中考数学压轴题在线：等腰三角形的存在性问题.doc

中考数学压轴题在线：等腰三角形的存在性问题 问题解读 （1）找点：轨迹为两圆一线 （2）求点：根据线段相等，分三种情况讨论进行求解． 几何法：解三角形去进行求解； 解析法：根据两点间距离公式或者勾股定理去进行求解． （3）定点：注意题目中的条件或问题是在线段、射线或直线上，还是在轴、轴或坐标轴上，也需要注意三点要能构成三角形，三点不共线． 二．例题解析 例1. 如图，抛物线与轴交于点，与x轴交于点、（点在点的左侧），抛物线的对称轴与x轴交于点，问在对称轴上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 解析： 存在符合条件的点，由，，∴ = 1 \* GB3 ①当时，；②当时，，；③当时， 连接，过C作对称轴的垂线，由勾股定理可得． 综上所述，符合条件的点P的坐标为，，，． 此题非常简单，利用此题带着学生回忆等腰三角形存在性问题的轨迹：两圆一线，以及在抛物线中的算点坐标的过程． 例2. 已知：的斜边长为5，斜边上的高为2，将这个直角三角形放置在平面直角坐标系中，使其斜边AB与x轴重合（其中），直角顶点C落在y轴正半轴上． （1）请直接写出A、B的坐标：A　 　、B　 　；并求经过A、B、C三点的抛物线解析式； （2）如图，点D的坐标为，点是该抛物线上的一个动点（其中，），连接DP交BC于点E． ①当是等腰三角形时，直接写出此时点E的坐标． ②又连接CD、CP，是否有最大面积？若有，求出的最大面的最大面积和此时点P的坐标；若没有，请说明理由． 解析： （1）由，易知，， ，可求， ∴，， 可设解析式为，将点代入，可求． ∴． （2）①，， 提示：直线的解析式为 设，利用勾股定理和点在直线BC上，可得两个方程组 分别可求和． ②过作x轴的垂线，交于， 易求的解析式为，且， 故 故，当时，，． 本题主要考查点在一般的直线上的等腰三角形存在性问题． 例3. 已知抛物线与y轴交于点A，它的顶点为B，点A、B关于原点O的对称点分别是点C、D. 若点A、B、C、D中任何三点都不在一直线上，则称四边形ABCD为抛物线的伴随四边形，直线AB为抛物线的伴随直线. 如图，若抛物线的伴随直线是，且伴随四边形ABCD是矩形． （1）用含b的代数式表示m，n的值； （2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得是一个等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标（用含b的代数式）；若不存在，请说明理由． 解析：（1）如图，作轴，由题意可得， ∵抛物线的顶点在上， ∴， 在矩形ABCD中，，∴ 即： ∴ ∴(舍去)， ∴ ∴，； （2）存在，有4个点：，，，. 本题属于较难的等腰三角形存在问题，此题可以训练学生对于信息的处理能力 以及含参的计算． 真题反馈 1. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点D的坐标为(3, 4)，点P是x轴正半轴上的一个动点，如果△DOP是等腰三角形，求点P的坐标． 2. 在平面直角坐标系中，一块含角的三角板作如图摆放，斜边AB在x轴上，直角顶点C在y轴正半轴上，已知点． （1）请直接写出B、C的坐标：B　 　、C　 　；并求经过A、B、C三点的抛物线解析式； ①设，当x为何值时，； ②在①的条件下探究：抛物线的对称轴上是否存在点P使是等腰三角形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 备用图 3. 如图，已知中，AB = AC = 6，BC = 8，点D是BC边上的一个动点，点E在AC边上，∠ADE =∠B．设BD的长为x，CE的长为y． （1）当D为BC的中点时，求CE的长； （2）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； （3）如果为等腰三角形，求x的值． A A B C D E 4. yxOKACHGDEB已知，一条抛物线的顶点为E（，4），且过点A（，0），与y轴交于点C，点D是这条抛物线上一点，它的横坐标为m，且，过点D作轴，垂足为K，DK分别交线段AE、 y x O K A C H G D E B （1）求这条抛物线的解析式； （2）求证：GH = HK； （3）当是等腰三角形时，求m的值． 5. 如图，直线y＝2x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P是x轴正半轴上的一个动点，直线PQ与直线AB垂直，交y轴于点Q，如果△APQ是等腰三角形，求点P的坐标． 6. 如图，在中，∠C = 90°，BC = 3，AB = 5．点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿B→C→A→B的方向运动；点Q从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿C→A→B的方向运动，到达点B后立即原速返回，若P、Q两点同时运动，相遇后同时停止，设运动时间为t秒． （1）当t =_